Zur Reduction hyperelliptischer Integrale erster Ordnung auf elliptische mittels einer Transformation dritten Grades. Nachtrag. (Q1516776)

Siehe auch JFM 29.0387.02. Wenn ein hyperelliptisches Integral erster Gattung vom Geschlechte \(p=2\) durch eine rationale Transformation \(k^{\text{ten}}\) Grades auf ein elliptisches Integral zurückgeführt werden kann, so giebt es nach dem Weierstrass-Picard'schen Satze über die Perioden reducirbarer Integrale stets ein zweites zu derselben Irrationalität gehöriges Integral erster Gattung, welches durch eine Transformation desselben Grades auf ein elliptisches Integral reducirbar ist. So leicht aber auf dem transcendenten Wege die Existenz dieses zweiten Integrals erkannt wird, so mühsam ist bei der algebraischen Behandlung des Reductionsproblems die wirkliche Aufstellung des zweiten reducirbaren Integrals, nachdem das erste bereits gefunden ist. Für \(k=3\) hat Goursat (F. d. M. 17, 466, 1885, JFM 17.0466.01) diese Schwierigkeit überwunden, indem er das binäre Coordinatensystem für die Variable \(x_1:x_2\) des hyperelliptischen Integrals so wählte, dass in de reducirenden Transformation dritten Grades sowohl im Zähler als im Nenner das Glied mit \(x_1^2x_2\) fehlte. Er fand dann für das hierdurch reducirbare Integral die Form \[ \int\frac{x_2.(xdx)}{\sqrt{(x_1^3+ax_1x_2^2+bx_2^3)(x_1^3+px_1^2x_2) + qx_2^3)}} \] mit der Bedingung \(q=4b+\frac43ap\) und erhielt hieraus das zweite reducirbare Integral durch die Bemerkung, dass die Function unter der Quadratwurzel und die Bedingungsgleichung unverändert bleiben, wenn man \(x_1\) mit \(x_2\) vertauscht und gleichzeitig \(a\), \(b\), \(p\), \(q\) beziehungsweise durch \(p/q\), \(1/q\), \(a/b\), \(1/b\) ersetzt. ``Die Ableitung des zweiten Integrals aus dem ersten gelingt aber lediglich mittels eines Kunstgriffs, der wesentlich von dem gewählten Coordinatensvsteme abhängt, ohne dass man jedoch einen Einblick in den inneren Zusammenhang erhält, da Goursat nicht angiebt, wie er zur Wahl seines Coordinatensystems gelangt ist. Insbesondere bleibt der Zusammenhang zwischen dem gewählten Coordinatensysteme und dem Zähler des zweiten Integrals unaufgeklärt.'' Der Verf. versucht nun, dem hierin liegenden Mangel, an dem übrigens auch seine eigene für \(k=4\) gegebene Lösung leidet (F. d. M. 18, 407, 1886, JFM 18.0407.01, und 19, 477, 1887, JFM 19.0477.01), abzuhelfen, indem er unabhängig von der Goursat'schen Lösung und ohne Benutzung eines speciellen Coordinatensystems auf Grund von bekannten Sätzen über kubische Involutionen (F. d. M. 28, 399, 1897, JFM 28.0399.01) das erste reducirbare Integral aufstellt, daraus die Existenz des zweiten nachweist und endlich den Zähler des zweiten Integrals bestimmt. Dabei dient als Grundlage der Satz: Deutet man die sechs Grössen \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\alpha_3\), \(\alpha_4\), \(\alpha_5\), \(\alpha_6\) geometrisch durch sechs Punkte eines Kegelschnitts, so besteht die notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz eines zur Irrationalität \[ \sqrt{(x-\alpha_1) (x-\alpha_2) (x-\alpha_3) (x-\alpha_4) (x-\alpha_5) (x-\alpha_6)} \] gehörigen, durch eine Transformation dritten Grades auf ein elliptisches Integral reducirbaren Integrals erster Gattung darin, dass es einen Kegelschnitt giebt, der durch drei der Punkte hindurchgeht und gleichzeitig dem Dreieck der drei übrigen eingeschrieben ist; es giebt dann stets auch einen zweiten Kegelschnitt, der dem Dreieck der ersten drei Punkte eingeschrieben ist und durch die zweiten drei Punkte hindurchgeht. In einem Nachtrage macht der Verf. darauf aufmerksam, dass dieser Satz bereits 1894 von Humbert ausgesprochen und bewiesen worden war.