I principii della geometria di posizione composti in sistema logico deduttivo. (Q1516811)

In der Einleitung wird der Gegensatz hervorgehoben zwischen der elementaren Geometrie, deren Begriffe und Postulate ihren Ursprung in Thatsachen der Erfahrung haben, und der projectiven Geometrie, wie sie von v. Staudt begründet wurde, die rein abstract ihre Begriffe bilden und rein deductiv zu ihren Resultaten gelangen kann, ohne auf das Hülfsmittel der Anschauung angewiesen zu sein. In dem empirischen Ursprunge der Begriffe und mehr noch in der ausschliesslichen Verwendung der Wortsprache bei den logischen Operationen mit diesen Begriffen erblickt der Verf. in Uebereinstimmung mit Pasch eine Hauptursache von Unklarheiten, verschiedenartigen Auffassungen desselben Gegenstandes, wie sie bei der exactesten aller Wissenschaften nicht vorkommen dürften. Er unternimmt es daher, ohne dem gegenteiligen Verfahren seinen Wert abzusprechen, die Grundgesetze der Geometrie der Lage erstens rein abstract und speculativ, ohne Beziehung auf das Anschauliche, zweitens in der Sprache und den Schlussweisen von Peano's Algebra der Logik darzustellen, jedoch --- zur Erleichterung für den Leser --- überall unter Hinzufügung der gewohnten Ausdrucksweisen, abgesehen von einzelnen verwickelteren, in der Wortsprache schwer darstellbaren Resultaten. Die Zahl der erforderlichen Grundbegriffe ist auf zwei reducirt, den ``projectiven Punkt'' und die ``Verbindungslinie zweier projectiven Punkte''. Auch die im Gange der Untersuchung allmählich erforderlich werdenden 19 Postulate enthalten nur diese Begriffe. Ueber die Unabhängigkeit dieser Postulate von einander und die Möglichkeit, ihre Zahl zu reduciren, wagt der Verf. noch kein Urteil; ausreichend haben sie sich in allen Fällen erwiesen. Im übrigen werden in den 12 Abschnitten der Arbeit nach einander behandelt: Die primitiven Elemente (projectiven Punkte), projective Geraden und Ebenen, das ebene Viereck und die harmonische Beziehung, projective Strecken und Dreiecke, Transformationen, harmonische Correspondenzen nebst dem Satze von Staudt, der gewöhnliche und der absolute projectivische Raum. In einem Anhange wird die Frage der Unabhängigkeit der 19 Postulate von einander erörtert.