Ueber eine Erweiterung des Gauss'schen Pentagramma mirificum auf ein beliebiges sphärisches Dreieck. (Q1516945)

In einer Abhandlung (Ges. W. I, Nachlass, S. 481-490) hat Gauss für ein gegebenes rechtwinkliges sphärisches Dreieck ein Fünfeck besonderer Art, nämlich ein solches, dessen fünf Diagonalen sämtlich Quadranten sind, von ihm Pentaggramma mirificum genannt, angegeben, aus dessen Betrachtung unter anderen sich sogleich die Neper'schen Analogien ergeben. Der Verf. unternimmt es nun, diese Figur so zu erweitern, dass sie auf irgend ein gegebenes schiefwinkliges sphärisches Dreieck angewandt werden kann. Dieses Dreieck sei \(ABC\); dann sei \(A'\) Pol von \(BC\) (Pol eines Kreisbogens soll hier ein Punkt heissen, der zu dem Bogen die Lage von Pol zu Aequator hat; welcher von den beiden Polen dabei genommen wird, bleibt gleichgültig, da die Pole als Gegenpunkte der Kugel im wesentlichen einander ersetzen). Ebenso sei \(B'\) Pol von \(CA\), \(C'\) Pol von \(AB\); dann ist also \(A'B'C'\) das Polardreieck zu \(ABC\). Die drei grössten Kreise durch \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) sind nun die Höhen sowohl des Dreiecks \(ABC\) als auch des Dreiecks \(A'B'C'\) und gehen daher durch denselben Punkt \(D\). Die Dreiecke \(ABC\) und \(A'B'C'\) liegen somit perspectivisch, und die Schnittpunkte \(E\), \(F\), \(G\) resp. der Seiten \(BC\), \(B'C'\) ferner \(CA\), \(C'A'\) und \(AB\), \(A'B'\) liegen in einem grössten Kreise. Hier hat man nun eine geschlossene Figur von zehn Punkten: \(A,\,B,\,C\), \(A',\,B',\,C'\), \(D,\,E,\,F,\,G\). Durch jeden Punkt gehen drei Kreise, und auf jedem der Kreise liegen drei Punkte. Jedem der zehn Punkte entspricht einer der zehn Kreise als Aequator. In dieser Figur sind nun zwölf Gauss'sche Fünfecke (oder nach oben Pentagramma mirificum) enthalten. Eins derselben ist z. B. \(A'DCEG\). Um diese alle aufzufinden und übersichtlich zu gruppiren, hat der Verf. neue Bezeichnungen eingeführt. Dies mag genügen, um den Gegenstand der Arbeit zu kennzeichnen. Erwähnt sei noch, dass die Figur in nahe Beziehung zu einem Tetraeder mit Höhenschnitt gesetzt wird. Die Betrachtung dieses Tetraeders führt dann auch auf eigentümliche Formeln für die Seiten \(a\), \(b\), \(c\) und Winkel \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) eines sphärischen Dreiecks. (Vergl. das vorangehende Referat, JFM 29.0442.04).