Ueber den Fundamentalsatz der projectiven Geometrie. (Q1516984)

Ueber den Fundamentalsatz der projectiven Geometrie, nach welchem die projective Beziehung zwischen zwei Geraden einer Ebene durch drei Paare entsprechender Punkte eindeutig bestimmt ist, sind in den letzten Jahren viele Publicationen erschienen, die sich auf die zum Beweise des Satzes notwendigen Axiome beziehen. H. Wiener hatte nun in seinem Aufsatze ``Ueber die Grundlagen und den Aufbau der Geometrie'' (Deutsche Math. Ver. 1, 47; F. d. M. 24, 500, 1892, JFM 24.0500.02) die Behauptung ausgesprochen, dass sich jener Fundamentalsatz aus dem Satze des Desargues über zwei perspective Dreiecke und dem Satze des Pascal für einen aus zwei Geraden bestehenden Kegelschnitt ohne alle Stetigkeitsaxiome beweisen lasse. Hieran anknüpfend, liefert Schur einen Beweis des Pascal'schen Satzes für zwei Gerade nach einem auf Dandelin (Recherches nouvelles sur les sections du cône ..., Annales de Gergonne, 15, 387) zurückgehenden Verfahren, und zwar einen Beweis, der nur von den Congruenzaxiomen (Spiegelungen) Gebrauch macht, nicht aber von dem sogenannten Archimedischen Postulat. Auf den Pascal'schen Satz für zwei Gerade lässt sich dann leicht der Fundamentalsatz der projectiven Geometrie zurückführen.