Ueber gewisse zweifach unendliche Curvenscharen in der Ebene. (Q1517094)

Die Abhandlung zerfällt in zwei verschiedenartige Teile. Im ersten Teile wird das Problem gelöst, alle die punktweisen Abbildungen der Ebene herzustellen, bei denen die Geraden der Ebene in Kreise übergehen, womit die kartographische Aufgabe gelöst ist, die Erdkugel in allgemeinster Weise so abzubilden, dass die Loxodromen der Kugel im Bilde als Kreise erscheinen. Im zweiten Teile handelt es sich um die Untersuchung der \(\infty^2\) Curven, die eine Schar von \(\infty^1\) gegebenen Curven unter coustanten Winkeln durchsetzen. Statt des Namens ``isogonale Trajectorien'' hat der Verf. den kürzeren ``Loxodromen'' gewählt in Uebertragung einer auf Umdrehungskörpern üblichen Bezeichnung. Diejenigen \(\infty^1\) Loxodromen, welche durch einen beliebig gewählten Punkt gehen, haben in diesem Punkte Krümmungskreise, die einen Büschel bilden. Dieser Satz hat zur Folge, dass jede Loxodromenschar ebenso wie jede Schar von \(\infty^2\) Kreisen, als die sich im ersten Problem die Geraden einer Ebene abbilden lassen, eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung von der allgemeinen Form erfüllt: \[ y''-(1+y'^2)(\alpha y'+\beta) = 0. \] Infolge jener eigentümlichen Lagerung der Krümmungskreise einer Loxodromenschar ist mit jeder Loxodromenschar eine gewisse Punkttransformation verknüpft. Da nun merkwürdigerweise die inverse Punkttransformation von derselben Form wie die directe ist, so ist mit jeder Loxodromenschar in der Ebene eine ganz bestimmte zweite Loxodromenschar verknüpft. Werden nämlich alle Loxodromen der ersten Schar construirt, die durch einen gemeinsamen Punkt gehen, so haben sie dort solche Krümmungskreise, die noch einen zweiten Punkt gemein haben, und die zugleich die Krümmungskreise in diesem zweiten Punkte für die zweite Loxodromenschar sind. Dieses Hauptergebnis des zweiten Teiles wird durch eine Reihe geometrisch interessanter Beispiele beleuchtet, aus denen bemerkenswerte Sätze über die Krümmungskreise gewisser Curven fliessen.