Ueber die Bestimmung ausgezeichneter Punktgruppen auf Curven vom Geschlecht \(p\). (Q1517118)

Auf einer Curve \(C_n^{(p)}\) von der Ordnung \(n\) und vom Geschlecht \(p\) sei eine Anzahl \((\tau+1=2Q-p-1)\) von Punkten fest angenommen, durch welche eine \(2r\)-fach unendliche lineare Schar adjungirter Curven hindurchgeht, und es sei \(R+r+1\) die Gesamtheit der nicht festen Schnittpunkte mit der Grundcurve. Alsdann kann das Problem der Specialgruppen \(g_Q^{(1)}\) als specieller Fall der Aufgabe aufgefasst werden, die Anzahl ausgezeichneter Gruppen von \(r+1\) Punkten zu bestimmen, durch die noch \(\infty^r\) adjungirte Curven des Systems gehen. Die gesuchte Zahl \(\xi(R,r,p)\) ergiebt sich aus zwei Recursionsformeln, die durch eigentümliche Grenzübergänge erhalten werden, und gestattet eine unmittelbare Anwendung auf das ursprüngliche Problem der Specialgruppen \(g_Q^{(1)}\). Ein analoges Verfahren wird sodann auf die Bestimmung der zu \(g_Q^{(1)}\) residualen Scharen \(\gamma_R^{(r)}\) angewandt, wobei sich eine zuerst von Brill und Noether bemerkte Beziehung zu gewissen Aufgaben der abzählenden Geometrie in höheren Räumen ergiebt. Nach einer ausführlichen Behandlung eines Beispiels (Bestimmung der Specialscharen \(g_8^{(2)}\) auf einer Curve \(C_9^{(8)}\) mit 20 Doppelpunkten) findet noch die von Castelnuovo behandelte Aufgabe der Bestimmung der Specialgruppen \(g_Q^{(q)}\) auf einer Curve vom Geschlechte \(p\) mit der Bedingung \(\tau=0\) ihre Erledigung.