Leçons sur les systèmes orthogonaux et les coordonnées curvilignes. Tome I. (Q1517166)

In fast unmittelbarem Anschluss an seine vortrefflichen Leçons sur la théorie générale des surfaces hat Darboux eine ausführliche Darstellung der Theorie der orthogonalen Flächensysteme und der allgemeinen krummlinigen Coordinaten gegeben, von der bis jetzt der erste Band, bestehend aus zwei Büchern mit je sechs Kapiteln vorliegt. Wie alle Publicationen dieses hervorragenden Geometers zeichnet sich auch diese durch die elegante und scharfsinnige Darstellung aus und giebt in der Hauptsache eigene Originaluntersuchungen wieder, wenngleich das Eingehen auf die Arbeiten anderer Forscher auf den betreffenden Gebieten nirgends vermieden worden ist. Aber dieses Eingehen hat nie den Charakter der blossen Reproduction sondern drückt dem Vorgetragenen stets den wertvollen Stempel der Darboux'schen Eigenart auf. Das erste Kapitel des Werkes beschäftigt sich mit der partiellen Differentialgleichung dritter Ordnung, welcher jeder der drei Parameter der drei Familien eines orthogonalen Systems zu genügen hat, ein Satz, der zuerst von Darboux publicirt worden ist. Cayley war der erste, dem die Aufstellung dieser Gleichung in entwickelter Form gelang. Das zweite Kapitel beschäftigt sich mit den orthogonalen Systemen Lame'sche Systeme genannt, welche eine Familie von Ebenen oder Kugeln enthalten. Es würde zu weit führen, Ausführliches über dieses schöne Kapitel mitzuteilen. Es sei nur bemerkt dass die Aufstellung eines Orthogonalsystems, welchem eine gegebene Kugelschar angehört die Integration einer allgemeinen Riccati'schen Gleichung mit complexen Coefficienten erfordert. Das dritte Kapitel behandelt den Fall eines particularen Integrals von der ersten Ordnung der charakteristischen partiellen Differentialgleichung dritter Ordnung. In dem vierten Kapitel werden in elegantester Weise die verschiedensten Formen dieser partiellen Differentialgleichung entwickelt. Das fünfte Kapitel bespricht diejenigen Lamé'schen Systeme, deren eine Familie aus Flächen zweiten Grades gebildet wird und ist von hohem geometrischen Interesse. Das sechste Kapitel behandelt die orthogonalen Systeme von \(n\) Dimensionen, beziehungsweise von \(n\) Variabeln. Es enthält die bisher auf diesem Gebiete von Darboux erhaltenen ausgezeichneten Resultate, welche die Aufstellung der endlichen Gleichungen der Krümmungslinien einer grossen Zahl von Flächen dritten Grades ermöglichten. Auch dieses Kapitel ist von hervorragendem Interesse. Das erste Kapitel des zweiten Buches dehnt die von Lamé in den Leçons sur les coordonnées carvilignes gegebenen Formeln auf Orthogonalsysteme von \(n\) Variabeln aus und giebt eine Reihe neuer umfangreicher Entwickelungen und Analogien, auf die näher einzugehen es einen bedeutenden Raum erfordern würde. Das zweite Kapitel desselben Buches führt die Betrachtung des beweglichen Tetraeders ein, bei welchem die Bewegung von mehreren Parametern abhängt, und bringt die eingeführten Elemente in Beziehung zu dem ersten Differentialparameter einer beliebigen Function \(U\) und zu dem gemischten Differentialparameter zweier Functionen \(U\) und \(V\). Es schliesst mit einer schönen Untersuchung über die Transformation quadratischer Differentialausdrücke. Im dritten Kapitel folgt eine ausgezeichnete Untersuchung über dreifache Orthogonalsysteme, die gleichzeitig orthogonal und isotherm sind, welche Untersuchung im vierten Kapitel ihre Fortsetzung findet. Auch im fünften Kapitel handelt es sich noch um isotherme Systeme, hauptsächlich um solche für welche die partielle Differentialgleichung der Wärmebewegung unendlich viele particulare Integrale gegebener Form zulässt. Auch hier widersetzt sich der Reichtum der Entwickelungen einer auch nur andeutenden Wiedergabe ihres Inhalts. Das sechste und letzte Kapitel behandelt die dreifachen Orthogonalsysteme Bianchi's, d. h. diejenigen Orthogonalsysteme, bei denen eine Familie aus Flächen von constanter positiver oder negativer Krümmung besteht. In Beziehung auf diese Bianchi'schen Systeme möge dem Referenten eine kurze Bemerkung gestattet sein. Der ausgezeichnete italienische Geometer hat diese Systeme mit dem Namen des Referenten bezeichnet. Diese Bezeichnung könnte den Eindruck hervorrufen, als ob Referent an der Entdeckung der in Rede stehenden Systeme irgend welches Verdienst hätte. Referent aber hat bei Gelegenheit der brieflichen Mitteilung der einfachen Bemerkung, die den Ausgangspunkt der Bianchi'schen Untersuchungen zu bilden scheint, ausdrücklich hervorgehoben, dass es ihm, trotzdem er diese Bemerkung schon vor Jahren gemacht habe, nicht gelungen sei, aus ihr irgend welche Vorteile zu ziehen. Es können daher diese Systeme nur als Bianchi'sche Systeme, und nicht anders, bezeichnet werden. Die Ehre, die ihm sein Freund Bianchi angethan, erscheint dem Referenten als über die eigenen Verdienste weit hinausgehend. Die Darstellung, welche Darboux von den Bianchi'schen Untersuchungen giebt, ist eine gedrängte und eigenartige, deren Lectüre auch in dieser Form von hohem Interesse ist. Mit diesen Untersuchungen schliesst der erste Band des hervorragenden Werkes ab, und von der Fortsetzung können wir weitere neue Bereicherungen der Wissenschaft erwarten.