Sur les surfaces qui admettent un groupe infini discontinu de transformations birationnelles. (Q1517215)

Die Existenz von algebraischen Oberflächen, welche unendlich viele discontinuirliche, aber keine continuirlichen Transformationen in sich selbst zulassen, wurde bereits von Humbert (F. d. M. 26, 518, 1895, JFM 26.0518.02) erwiesen; diese Eigenschaften entdeckte er bei gewissen nicht ausgearteten Kummer'schen Flächen. Der Verf. giebt hier einfachere Beispiele von Flächen, bei denen er dieselbe Eigenschaft nachweist; die Coordinaten eines Punktes dieser Flächen sind durch elliptische Functionen zweier Parameter darstellbar. Als einfachste der aufgeführten Flächen sei die folgende, bei welcher sich die Coordinaten \(x\), \(y\), \(z\) eines Flächenpunktes durch: \[ x = \wp(u),\,y = \wp(v),\,z = \frac{\wp'(u)}{\wp'(v)} \] ausdrücken, angeführt. Am Schluss wirft Painlevé die Fragen auf: 1. alle Oberflächen zu bestimmen, deren Coordinaten hyperelliptische Functionen zweier Parameter \(u\), \(v\) sind, so dass einem Punkte der Oberfläche mehrere nicht congruente Paare \(u\), \(v\) entsprechen (diese Paare leiten sich aus einander durch eine lineare Transformation ab), 2. unter allen diesen Oberflächen diejenigen, welche eine unendliche discontinuirliche Gruppe von birationalen Transformationen in sich zulassen, auszusondern. Wenn die Anzahl der Paare \((u,v)\) gleich 2 ist, so ist nach Untersuchungen von Humbert die Oberfläche aus einer Kummer'schen Fläche durch birationale Transformation herleitbar; wenn sie grösser als 2 ist, so arten die hyperelliptischen Functionen in elliptische aus und die Oberfläche ist, wie behauptet wird, aus in der Note angeführten Beispielen oder ähnlichen durch birationale Transformation ableitbar.