Ueber die quadratische Transformation, durch welche die Ebenen des Raumes in ein System von Flächen zweiter Ordnung mit gemeinsamen Poltetraeder übergeführt werden. (Q1517223)

Auf die nicht wechselseitig eindeutigen quadratischen Verwandtschaften hat Reye durch eine inhaltsreiche Abhandlung in Math. Ann. 48 (F. d. M. 27, 558, 1896, JFM 27.0558.01) die Aufmerksamkeit der Geometer von neuem hingelenkt; Verf. hielt es daher an der Zeit, die in der Ueberschrift gekennzeichnete Verwandtschaft, welche auch eine einfache analytische Behandlung gestattet, näher zu studiren. Aus dem ersten Abschnitt, welcher dem Gebüsch der quadratischen Flächen mit gemeinsamem Poltetraeder gewidmet ist und die für das Folgende wichtigen Eigenschaften zusammenstellt, seien nur die Formeln hervorgehoben, welche die zu betrachtende Abbildung charakterisiren. Wählt man bei einem Gebüsch quadratischer Flächen mit gemeinsamem Poltetraeder das Poltetraeder als Haupttetraeder und bezieht auf dasselbe homogene Coordinaten \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_4\), so ist die Gleichung einer beliebigen Fläche des Gebüsches \((f)^3\): \[ a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + a_3x_3^2 + a_4x_4^2 = 0. \] Bezeichnet man den Raum des Systems \((f)^3\) mit \((x)\), den Raum der den Flächen des Systems entsprechenden Ebenen mit \((X)\), nimmt das Haupttetraeder beiden Räumen gemeinsam an und sucht zu jeder Fläche des Gebüsches in Bezug auf den Einheitspunkt die Polarebene, so hat man die Flächen des Gebüsches eindeutig auf die Ebenen des Raumes bezogen und erhält die Transformationsformeln: \(\varrho X_i=x_i^2\) \((i=1,2,3,4)\); die Coordinaten eines Punktes des Raumes \((X)\) sind also proportional den Quadraten der Coordinaten des entsprechenden Punktes im Raume \((x)\); umgekehrt sind die Coordinaten eines Punktes des Raumes \((x)\) proportional den Quadratwurzeln aus den Coordinaten des entsprechenden Punktes im Raume \((X)\). Der zweite Abschnitt, welcher die Ueberschrift ``über eine Reihe besonderer Flächen vierter Ordnung'' führt, behandelt die Flächen \(f^4\), welche im Raume \((x)\) den Flächen \(F^2\) des Raumes \((X)\) entsprechen. Die Flächen \(f^4\) werden besonders interessant, wenn die \(F^2\) in gewisser Beziehung zu dem Haupttetraeder stehen. Berührt \(F^2\) alle Ebenen des Haupttetraeders, so wird \(f^4\) die von Cayley Tetraedroid genannte Fläche, welche von 17 Parametern abhängt und eine Verallgemeinerung der Fresnel'schen Wellenfläche ist. Einem Hyperboloid \(F^2\), welches drei Kanten des Haupttetraeders enthält, entspricht eine biquadratische Regelfläche, welche dieselben drei Kanten zu Doppellinien hat und eine Kegelschnittschar mit besonderer Lage zum Haupttetraeder trägt. Nur wenn \(F^2\) ein Kegel ist, dessen Spitze in einer Ebene des Haupttetraeders liegt, besitzt \(f^4\) einen Doppelkegelschnitt. Einem Kegel des Raumes \((X)\), der dem Haupttetraeder umbeschrieben ist, entspricht im Raume \((x)\) eine sogenannte desmische Fläche. Von den erwähnten Flächen werden aus der Art der Abbildung ihre Eigenschaften, auf die hier nicht ausführlich eingegangen werden kann, hergeleitet. Bei dem Tetraedroid, für welches die schon von Cayley gegebene Gleichung in Determinantenform angegeben ist, wird z. B. die gegenseitige Lage der 16 Knotenpunkte zu einander besprochen; die 120 Verbindungsgeraden je zweier Knotenpunkte sind mit den 120 Schnittlinien je zweier der 16 singulären Ebenen der Fläche identisch. An der desmischen Fläche treten bei der Abbildung die 12 Knotenpunkte hervor, welche die Ecken dreier Tetraeder eines desmischen Systems bilden; ferner wird das Verhalten der 16 Geraden der Fläche studirt, von denen je vier auf 12 Ebenen liegen, welche letztere die Ebenen dreier Tetraeder sind, die ein neues desmisches System bilden: die desmische Fläche erscheint als Brennfläche von drei Strahlencongruenzen zweiter Ordnung sechster Klasse und kann auf dreifache Art als Enveloppe eines quadratischen Büschels von Flächen zweiter Ordnung erzeugt werden. Der dritte Abschnitt ist der Steiner'schen Fläche vierter Ordnung dritter Klasse gewidmet. Irgend einer Ebene des Raumes \((x)\) entspricht im Raume \((X)\) eine Steiner'sche Fläche. Wählt man \(x_1+x_2+x_3+x_4=0\) zur Bildebene, so erscheint die Steiner'sche Fläche in der Form \(\sqrt{X_1}+\sqrt{X_2}+\sqrt{X_3}+\sqrt{X_3} = 0\); in diese Form kann die Steiner'sche Fläche auch stets gebracht werden. Wegen der Einfachheit der analytischen Form erweist sie die Verwandtschaft für das Studium der Steiner'schen Fläche als besonders nützlich. Ausser der Herleitung der bekannten Resultate von Cremona, Clebsch, der einfachsten rationalen, zuerst von Kummer angegebenen Gleichungsform der Steiner'schen Fläche geht Verf. unter anderem auf die Cuspidalkegelschnitte ein (Kegelschnitte, in denen die in den sechs Cuspidalpunkten construirten Tangentialebenen die Steiner'sche Fläche schneiden); ferner auf die vier Contracuspidalpunkte, welche durch die Cuspidalkegelschnitte definirt werden, und auf die schon von Renner in einer Strassburger Dissertation (1896) näher studirten 24 Collineationen, welche die Steiner'sche Fläche in sich transformiren. Der letzte Abschnitt handelt von der Raumcurve vierter Ordnung erster Species. Jeder biquadratischen Raumcurve des Raumes \((x)\), welche die Schnittlinie zweier Flächen des Gebüsches \((f)^3\) ist, entspricht im Raume \((X)\) eine gerade Linie \(g\); die vier Kegel, welche durch die Raumcurve gehen, entsprechen den vier Ebenen, welche die gerade Linie \(g\) mit den Ecken des Haupttetraeders verbinden. Die 16 Wendeberührungspunkte der Raumcurve entsprechen den vier Schnittpunkten der Geraden \(g\) mit den Ebenen des Haupttetraeders. Auch die Wendeberührungslinien und Ebenen, ferner die schon von Harnack (Math. Ann. 12) betrachteten 32 Collineationen, welche die Raumcurve in sich transformiren, kommen eingehend zur Sprache. Besonders wichtig unter den Regelscharen, welche die Sehnencongruenz der Raumcurve enthält ist die Tangentenfläche achter Ordnung der Raumcurve; ihr entspricht im Raume \((X)\) eine Fläche vierter Ordnung, welche von den die Gerade \(g\) und die vier Ebenen des Haupttetraeders berührenden Kegelschnitten erfüllt wird. Diese Fläche vierter Ordnung ist eine Plücker'sche Complexfläche; einer der zugehörigen quadratischen Complexe ist stets ein tetraedraler mit dem Haupttetraeder. Dieser Complex ist auch für die Raumcurve vierter Ordnung von Bedeutung. Die Geraden des Complexes lassen sich nämlich als Polaren sämtlicher Punkte des Raumes in Bezug auf die Raumcurve vierter Ordnung auffassen. Durch Verfolgen dieser Betrachtungen ergiebt sich eine durch ein Tetraeder vermittelte Zuordnung der Geraden des Raumes zu Kegelschnitten, kubischen und biquadratischen Raumcurven. Zum Schluss geht Verf. kurz auf eine Arbeit von Wilhelm Stahl (J. für Math. 101) ein, in welcher Stahl durch das Studium der quadratischen Verwandtschaft aus der Tangentenfläche der biquadratischen Raumcurve die desmische Fläche zwölfter Ordnung herleitet, und zeigt den Zusammenhang mit den hier vorliegenden Untersuchungen. Dem Referenten sei noch gestattet, darauf hinzuweisen, dass die studirte Transformation und ihre Verwertung für die Steiner'sche Fläche auch schon in der Geometrie der Berührungstransformationen von Lie und Scheffers (1896), S. 355, berührt wurde.