Sur la forme des lignes géodésiques à l'infini et sur les géodésiques des surfaces réglées du second ordre. (Q1517235)

In einer früheren Arbeit (C. R. 124, 1503; F. d. M. 28, 540, 1897, JFM 28.0540.02) hatte Verf. gezeigt, dass jede unendliche ``erweiterte'' Schale einer Fläche negativer Krümmung als von einer geschlossenen geodätischen Linie, der ``Kehllinie'' dieser Schale, begrenzt angesehen werden kann, die so beschaffen ist, dass jede andere sie durchschneidende und in die Schale eintretende geodätische Linie sich auf letzterer ins Unendliche erstreckt. In der vorliegenden Abhandlung wird das Verhalten und die Form derartiger geodätischer Linien untersucht, und zwar hauptsächlich an den Beispielen des hyperbolischen Paraboloids und des geradlinigen Hyperboloids. Als Hülfsmittel dient die Abbildung der betrachteten Fläche auf einen achtblättrigen Streifen in der Ebene der elliptischen Coordinaten; die Resultate der Ebene lassen sich sodann ohne Schwierigkeit auf den Raum übertragen. Durch eine sorgfältige Discussion der in den hyperelliptischen Integralen der Gleichung der geodätischen Linien auftretenden willkürlichen Constante ergeben sich für das einschalige Hyperboloid ausser den von Halphen (Tr. des fonct. ell. 2, Kap. 6) angegebenen Arten geodätischer Linien zwei neue Arten: 1. Linien, die sich der Kehlellipse, 2. Linien, die sich einer Geraden asymptotisch nähern. Nach einigen Verallgemeinerungen der erlangten Resultate stellt sich der Verf. noch die Aufgabe, einige Fundamentaltheoreme über negativ gekrümmte Flächen für die geradlinigen Flächen zweiten Grades zu verificiren. Dabei ergiebt sich unter anderem folgendes Resultat: Verbindet man zwei Punkte \(m\), \(m'\) des einschaligen Hyperboloids durch eine geodätische Linie, die eine immer grössere Zahl von Umläufen um die Fläche vollzieht, so nähert sich die Anfangsrichtung dieser geodätischen Linie in einem beliebigen ihrer äussersten Punkte \(m\), \(m'\) der Richtung der Asymptote, die durch den betreffenden Punkt an die Kehlellipse gezogen ist (vergl. S. 522 dieses Bandes, JFM 29.0522.01).