Ueber eine Kategorie von Transformationsgruppen einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit. (Q1517260)

Im ersten Abschnitte der Arbeit beweist der Verf. eine Anzahl neuer Sätze über die Gruppen von Punkttransformationen des \(R_n\), bei denen zwei Punkte eine und nur eine Invariante haben, während sich die Invarianten beliebig vieler Punkte durch die Invarianten von Punktepaaren ausdrücken lassen. Es ist das eine Klasse von Gruppen, deren vollständige Bestimmung für den Fall \(n=3\) Lie schon 1890 in den Leipziger Berichten veröffentlicht hat. Im zweiten Abschnitte bestimmt der Verf. alle Gruppen des \(R_4\), die diese Eigenschaft besitzen, und zwar zunächst ohne Rücksicht auf Realitätsverhältnisse. Die primitiven Gruppen dieser Art sind von vorn herein bekannt, es sind die euklidischen und die nicht-euklidischen Bewegungen. Von den imprimitiven beweist er, dass keine solche Gruppe eine Schar von \(\infty^1\) dreifach ausgedehnten oder von \(\infty^2\) zweifach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten invariant lassen kann, ein Satz, der sich überhaupt auf die betreffenden Gruppen des \(R_n\) übertragen lässt (bei einer solchen Gruppe kann keine Schar von \(\infty^1M_{n-1}\) oder von \(\infty^2M_{n-2}\) invariant bleiben). Es bleiben daher nur die Gruppen des \(R_4\) die eine invariante Schar von \(\infty^3\) Curven primitiv transformiren, und dabei sind nur zwei Fälle zu unterscheiden, deren Discussion je eine Gruppe von der verlangten Art liefert. Nimmt man auf Realitätsverhältnisse Rücksicht, so erhält man sechs reelle primitive und drei reelle imprimitive Gruppen. Im dritten Abschnitte endlich bestimmt Verf. im \(R_5\) alle imprimitiven Gruppen der betrachteten Art und findet, dass es nur zwei solche Gruppen giebt. Ausserdem zeigt er noch, dass es überhaupt in jedem \(R_n\,(n>3)\) sicher zwei imprimitive Gruppen giebt, die seine Forderung erfüllen. Es ist bemerkenswert, dass die Zahl der imprimitiven Gruppen von der betrachteten Art im \(R_4\) und \(R_5\) so sehr viel kleiner ist als im \(R_3\) (vgl. Lie, Transformationsgruppen, Bd. 3. Kap. 20).