Ueber Gruppen, insbesondere continuirliche Gruppen von Cremona-Transformationen der Ebene und des Raumes. (Q1517285)

Der vorliegende Aufsatz wurde als Vortrag auf dem internationalen Mathematiker-Congress in Zürich (1897) gehalten; er behandelt zuerst kurz die ältere Litteratur über birationale oder Cremona-Transformationen der Ebene und des Raumes, um dann vorzüglich auf die gruppentheoretischen Untersuchungen aus der Theorie der Cremona-Transformationen einzugehen. Verf; bespricht einerseits die endlichen (d. h. die aus einer endlichen Anzahl von Transformationen bestehenden), andererseits die continuirlichen Gruppen im Sinne von Lie. Die Untersuchungen über endliche Gruppen in der Ebene, welche von den periodischen und vorzüglich den involutorischen Cremona-Transformationen ihren Ausgang nahmen, lassen sich in zwei Klassen einteilen, nämlich solche, bei denen die Ordnung (Autonne) und solche, bei denen die Aufzählung sämtlicher verschiedenen Typen ohne Rücksicht auf die Ordnung (S. Kantor und Wiman) die Hauptrolle spielt; für die Beantwortung der analogen Fragen im Raume ist noch wenig gethan. Auch bezüglich der continuirlichen Gruppen von Cremona-Transformationen sowohl der Ebene wie des Raumes können die erwähnten zwei Richtungen unterschieden werden. Noether hat sich (F. d. M. 28, 598, 1897, JFM 28.0598.01) mit einer Frage, die in das Gebiet der Ordnung schlägt (nämlich der Aufzählung der fünf verschiedenen Arten von continuirlichen Gruppen quadratischer Transformationen) beschäftigt; Untersuchungen von Enriques und Fano haben die Frage nach den Typen erledigt. Die Ergebnisse dieser letzteren Untersuchungen, dass jede Gruppe von Cremona-Transformationen der Ebene birational in eine von drei verschiedenen Kategorien (projective, Gruppen quadratischer Transformationen und Gruppen von Jonquières) und jede Gruppe von Cremona-Transformationen des Raumes in eine von fünf verschiedenen Typen (projective, conforme, verallgemeinerte Jonquières'sche und zwei dreigliedrige Gruppen dritter, bez. siebenter Ordnung) birational übergeführt werden kann, werden in besonders eingehender Weise besprochen; die primitiven Gruppen werden dabei von den imprimitiven abgesondert. Zum Schluss werden einige Resultate über verallgemeinerte Jonquières'sche Gruppen angegeben und verschiedene Fragen für die Cremona-Transformationen des \(R_n\) aufgeworfen. Vor allen Dingen wäre die Erledigung der Frage erwünscht, ob es für \(n>2\) ein dem alten Noether'schen Satze (Erzeugung aller Cremona-Transformationen der Ebene durch quadratische) ähnliches Theorem über einfache erzeugende Operationen sämtlicher Cremona-Transformationen des \(R_n\) giebt (vergl. die folgenden Referate, JFM 29.0567.01; JFM 29.0567.02; JFM 29.0567.03; JFM 29.0567.04; JFM 29.0568.01).