Sur la représentation conforme des variétés à trois dimensions. (Q1517306)

Eine Mannigfaltigkeit von \(n\) Dimensionen ist durch die \(n\) Variablen \(x_i\) und eine quadratische Form \(ds^2\) der Differentiale von nicht verschwindender Determinante festgelegt. Zwei Mannigfaltigkeiten von \(n\) Dimensionen \(x_i\), \(ds^2\) und \(x_i'\), \(ds'^2\) heissen auf einander conform abbildbar, wenn man die \(x\) derartig als Functionen der \(x'\) bestimmen kann, dass die entsprechende Transformation \(ds^2\) bis auf einen von den Differentialen unabhängigen Factor in \(ds'^2\) überführt; geht durch diese Transformation \(ds^2\) in \(ds'^2\) selbst, also ohne Factor, über, so heissen die zwei Mannigfaltigkeiten auf einander abwickelbar. Die Beantwortung der Frage, wann zwei Mannigfaltigkeiten von drei Dimensionen auf einander conform abbildbar sind, wird vom Verf. auf folgende Art entschieden: Man kann für jede Mannigfaltigkeit \(ds^2=\sum\limits_1^3 a_{ik}dx_idx_k\) eine bestimmte Function \(\varrho_1\) der Variable, die nicht von den Differentialen abhängt, eindeutig bestimmen und mithin der vorgelegten Mannigfaltigkeit eine neue Mannigfaltigkeit \(\varrho_1^2ds^2\), welche die Hauptmannigfaltigkeit heisse, zuordnen. Notwendig und hinreichend, damit zwei Mannigfaltigkeiten auf einander conform abgebildet werden können, ist, dass ihre zwei Hauptmannigfaltigkeiten auf einander abwickelbar sind. Dieses Problem ist aber bereits durch die Arbeiten von Christoffel, Lipschitz u. a. erledigt. Die Aufsuchung der Hauptmannigfaltigkeit zu \(ds^2\), also des \(\varrho_1\), wird auf folgende Art gelehrt: Betrachtet man \(d\sigma^2=\varrho^2ds^2\), so wird zunächst eine zu \(d\sigma^2\) covariante quadratische Form der Differentiale bestimmt; diese Form hängt von \(\varrho\) ab, wobei \(\varrho\) nur eine Function der Variablen, nicht der Differentiale, bedeutet. Aus \(d\sigma^2\) und der gefundenen Form kann eine kubische Covariante, die von drei verschiedenen Systemen von Differentialen abhängt, gebildet werden; von dieser Form wird behauptet, sie enthält \(\varrho\) nicht mehr. Diese kubische Covariante bleibt ungeändert, wenn man \(ds^2\) mit irgend einer Function der drei Variablen multiplicirt. Vermöge dieser kubischen Covariante und einer weiteren Covariante von \(d\sigma^2\) lässt sich dann \(\varrho_1\) eindeutig definiren und damit die Hauptmannigfaltigkeit festlegen.