Sur une intégrale d'un problème sur l'équilibre d'un fil flexible et inextensible. (Q1517364)

In Bezug auf die bekannten Differentialgleichungen der Fadencurven: \[ \frac d{ds}(Tx_i') + kX_i = 0\qquad(i=1,\,2,\,3)\tag{1} \] löst der Verf. die Aufgabe: Drei in \(x_1'\), \(x_2'\), \(x_3'\) lineare Functionen \(U_i\,(i=1,\,2,\,3)\) der Variabeln \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(x_1'\), \(x_2'\), \(x_3'\), \(s\) so zu bestimmen, dass der Ausdruck \[ P = U_1\frac d{ds}(Tx_1') + U_2\frac d{ds}(Tx_2') + U_3\frac d{ds}(Tx_3') \] vermöge der Relation \(x_1'+x_2'+x_3'=1\) ein vollständiges Differential werde; ferner, wenn nötig, die Bedingungen aufzustellen, damit \[ Q = kX_1U_1 + kX_2U_2 + kX_3U_3, \] mit \(ds\) multiplicirt, ein vollständiges Differential werde. Dann giebt nämlich \(\int Pds + \int Qds = C\) ein Integral der Differentialgleichungen (1). Viele bekannte Lösungen derselben lassen sich hierauf zurückführen, insbesondere auch die von N. Saltykoff in Nouv. Ann. (3) 16 (F. d. M. 28, 631, 1897, JFM 28.0631.03).