Ueber Centralbewegungen. (Q1517391)

Die Abhandlung entwickelt zunächst eine Reihe von Eigenschaften der Centralbewegung, indem statt des Radiusvectors \(r\) überall der reciproke Wert \(u=1/r\) eingeführt wird. So z. B.: Die Bahn kehrt dem Kraftcentrum die concave oder die convexe Seite zu, je nachdem die Kraft \(f(r)\) eine Anziehung oder eine Abstossung ist. Ein Maximum und ein Minimum von \(u\) kann nur stattfinden, wenn die Kraft eine Anziehung ist. Die hierzu notwendige Bedingung ist (7) \(3+rf'(r)/f(r)>0\); ist \(f(r)=ar^n\), so muss daher \(n>-3\) sein. Ist \(n>-1\), so müssen zwei derartige Extreme von \(r\) immer existiren. In allen Fällen eines solchen Minimums \(u_0\) und Maximums \(u_1\) von \(u\) besteht die Bahn aus symmetrischen Stücken, und die Bewegung kann als eine periodische bezeichnet werden, indem \(u\) oder \(r\) als eine periodische Function von \(t\) darstellbar ist. Der folgende Abschnitt handelt von der Stabilität der Kreisbahnen, eine Untersuchung, die mit Hülfe einer genaueren Erörterung der oben angeführten Bedingung (7) durchgeführt wird. Ist \(f(r)=ar^n\), so ergiebt sich für \(n>-3\) jede Kreisbahn als stabil für \(n\leqq-3\) als instabil. An die vorige Betrachtung schliesst sich sofort die Erforschung nahezu kreisförmiger periodischer Bewegungen an. Man erhält \(f(r)=ar^n\) als einziges Anziehungsgesetz, für welches unter Annahme einer unendlich wenig vom Kreise abweichenden periodischen Bewegung die Aenderung \(\Theta\) des Polarwinkels, entsprechend einem Fortschreiten vom Maximum zum Minimum, vom Radius des Kreises unabhängig wird, nämlich \(\Theta=\pi/\sqrt{n+3}\), eine schon von Newton aufgestellte Formel. Ebenso wird der Bertrand'sche Satz bewiesen, dass nur unter Annahme der beiden Anziehungsgesetze \(f(r)=a/r^2\) und \(f(r)=ar\), unabhängig von den Anfangsbedingungen, solange diese an gewisse Grenzen gebunden sind, die Bahnen geschlossen sind. Der letzte Abschnitt betrifft die Anziehung einer mit der Zeit veränderlichen Masse. Von den Ergebnissen sei hier nur das letzte erwähnt, dass, wenn die anziehende Masse (beim Newton'schen Gravitationsgesetze) der Zeit proportional langsam wächst, die Bahn ein sich langsam verengender, hierbei aber stets sich ähnlich bleibender Kegelschnitt ist. Die Berührungspunkte der Arbeit mit den bezüglichen Untersuchungen von Korteweg (F. d. M. 16, 802-804, 1884, JFM 16.0802.01) sind nicht vom Verf. erwähnt worden; ebenso fehlt auch bei der zuletzt behandelten Frage die Bezugnahme auf die umfassende Arbeit von Meschtschersky: ``Dynamik des Punktes mit veränderlicher Masse'' (F. d. M. 28, 645, 1897, JFM 28.0645.01), wo im Kap. VII genau die vom Verf. gestellte Aufgabe offenbar in grösserem Umfange behandelt ist.