Auszug aus einem Schreiben an Herrn L. Berzolari. (Q1517766)

Sei \(f\) eine binäre quadratische Form, \(A=(f,f)^2\) ihre Invariante. Gelegentlich einer invariantiven Darstellung der Discriminante einer binären Form siebenter Ordnung, hat Gordan (F. d. M. 20, 126, 1888, JFM 20.0126.02) auf Grund der ``Clebsch-Gordan'schen'' Reihenentwickelung für die zweite Ueberschiebung der Potenzen \(f^\lambda\), \(f^\mu\) den Ausdruck gegeben: \[ (f^\lambda,f^\mu)^2 = \frac{\lambda+\mu-1}{(2\lambda-1)(2\mu- 1)}\cdot A\cdot f^{\lambda+\mu-2} \] und bemerkt, dass man, successive fortschreitend, zu einer entsprechenden Formel für die \((2\varrho)^{\text{te}}\) Ueberschiebung \((f^\lambda,f^\mu)^{2\varrho}\) gelangen würde. Der Verf. stellt zuerst fest, dass die fragliche Ueberschiebung sich von \(A^\varrho f^{\lambda+\mu-2\varrho}\) nur um einen Zahlenfactor unterscheiden kann, und bestimmt dann diesen Factor direct durch einen Differentiationsprocess und nachherige Specialisirung \(f=x_1x_2\). Als Nebenproduct ergiebt sich hierbei die bemerkenswerte Relation: \[ \sum_i\frac{(-1)^i\binom{2\varrho}i}{(\lambda-i)!(\mu-i)!(\lambda- 2\varrho+i)!(\mu-2\varrho+i)!} = \frac{(-1)^\varrho\binom{\lambda+\mu- \varrho}{\varrho}(2\varrho)!}{\lambda!\mu!(\lambda-\varrho)!(\mu- \varrho)!}. \] Gordan leitet die letztere auf einem directen Wege combinatorischer Natur ab. Siehe auch JFM 29.0089.03.