On the commutator groups. (Q1517805)

Sind \(s\) und \(t\) zwei Operatoren einer Gruppe \(G\), so heisst der Operator \(s^{-1}t^{-1}st\) und ebenso der inverse \(t^{-1}s^{-1}ts\) nach Dedekind der Commutator von \(s\) und \(t\). Die Commutatoren sämtlicher Operatoren von \(G\) bilden eine Gruppe \(G_1\), die Commutatorentergruppe von \(G\). Die Gruppe \(G_1\) ist eine ausgezeichnete und auch eine charakteristische Untergruppe (Frobenius, Berl. Ber. 1895, 183) von \(G\). Ist \(G_2\) die Commutatoruntergruppe von \(G_1\), \(G_3\) die von \(G_2\) etc., so nennt Verf. analog der von Lie in die Theorie der continuirlichen Gruppen eingeführten Bezeichnung \(G_k\) die \(k^{\text{te}}\) Ableitung von \(G\). Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Auflösbarkeit einer Gruppe ist die, dass man nach einer endlichen Anzahl von Ableitungen zur Einheit gelangt (vergl. das vorangehende Referat, JFM 29.0107.03). Da eine Gruppe viele ausgezeichnete und auch charakteristische Untergruppen, aber nur eine Commutatoruntergruppe besitzt, so gelten für die letztere besondere Sätze; Verf. stellt deren eine grosse Anzahl auf.