The transitive groups of degree \(N\) and class \(N-1\). (Q1517814)

Es sei \(G\) eine transitive Gruppe vom Grade \(N\), von der Klasse \(N-1\) und der Ordnung \(g=Nk\), so gelten folgende Sätze: 1. Ist \(G\) primitiv und \(N=p^mr\) (\(p\) und \(r\) von einander verschiedene Primzahlen), so muss \(r-1\equiv0\) (mod.\(p\)) sein, und \(r\geqq11\), wenn \(p=2\). 2. Ist \(N=\varrho p\) (\(p\) Primzahl und relativ prim zu \(\varrho>1\)), so muss \(k<\frac{p\delta}{p-1}\leqq p\) sein, wo \(\delta\) der grösste gemeinsame Teiler von \(p-1\) und \(g\), so dass \(p\geqq3\) ist. Wenn überdies \(G\) primitiv, so ist \(p-1\) nicht relativ prim zu \(\varrho\), \(\varrho\geqq p+1\), \(p>5\); \(p-1\) und \(\varrho(\varrho-1)\) haben einen gemeinsamen Teiler \(>2\). 3. Ist \(N=\varrho p^2\) (\(p\) Primzahl und relativ prim zu \(\varrho>1\)), so ist \(k<\frac{p^2\delta}{p^2-1}<p^2(p-1)\), wo \(\delta\) der grösste gemeinsame Teiler von \((p-1)(p^2-1)\) und \(g\). Wenn \(p=2\), so ist \(G\) imprimitiv und von der Ordnung \(12\varrho\) \((\varrho=3l+1)\). Ist ferner \(G\) primitiv, so ist \(p^2-1\) nicht relativ prim zu \(\varrho\), \(\varrho\geqq p^2+1\) und, wenn \(p=3\), \(\varrho\) eine gerade Zahl. 4. Ist \(G\) primitiv und \(N\leqq401\), so ist \(N=p^m\) (\(p\) Primzahl) und \(G\) eine lineare Gruppe mit \(m\) reellen Indices.