The composition of the finite groups whose degree is the fifth power of a prime. (Q1517816)

Die Gruppen, deren Ordnung das Product von zwei, drei und vier gleichen oder ungleichen Primzahlen ist, sind bereits von Netto (Substitutionentheorie), Hölder, Frobenius und Young behandelt worden (vergl. F. d. M. 1892, JFM 24.0134.02, 1893; JFM 25.0201.01; JFM 25.0201.02), die sich bei der Aufstellung derselben hauptsächlich auf die bekannten Sätze von Sylow (Math. Ann. 5) stützten. Hölder hat ferner (Gött. Nachr. 1895) die Zusammensetzung und Klassification aller Gruppen mit quadratfreier Ordnungszahl gegeben und gefunden, dass sie mit linearen Permutationsgruppen isomorph sind. Verf. giebt in der vorliegenden Arbeit zum ersten Male die Zusammensetzung aller Gruppen von der Ordnung \(p^5\) (\(p\) Primzahl). Das Problem der Aufstellung aller Gruppen von der Ordnung \(p^\nu\) zeigt erst für \(\nu=5\) seine wahre Gestalt; denn während es nur eine Gruppe von der Ordnung \(p\), nur zwei von der Ordnung \(p^2\), fünf von der Ordnung \(p^3\) und 15 von der Ordnung \(p^4\) giebt, falls \(p>2\) ist, hängt die Anzahl der Gruppen von der Ordnung \(p^5\) wesentlich von dem Werte der Primzahl p ab. --- Der Specialfall \(p=2\) ist von Levavesseur behandelt worden (C. R. 122, 182, 1896), welcher mehr als 65 Gruppen von der Ordnung \(2^5=32\) gefunden zu haben behauptete; seine Ergebnisse wurden von Miller berichtigt (C. R. 122, 370, 1896), dessen Resultate aber auch noch nicht ganz exact sind: es giebt nämlich, wie Verf. im Verlaufe seiner Arbeit feststellt, nur 50 Gruppen von der Ordnung 32. In dem ersten Teile der Arbeit stellt Verf. zunächst im \S\ I das allgemeine Princip auf, welches als Fundament für die folgenden Untersuchungen dient: dasselbe besteht in einer eigentümlichen Darstellung der allgemeinsten zu einer gegebenen Gruppe holoëdrisch isomorphen Gruppe. Darauf behandelt er der Gleichmässigkeit der Methode halber im \S\ II noch einmal die Gruppen von der Ordnung \(p^3\) und \(p^4\); die Unterschiede zwischen der Schlusstabelle dieses Paragraphen und den Resultaten von Hölder und Young sind nicht wesentlicher Natur, sondern rühren nur von der verschiedenen Wahl der reducirten Typen her: in den meisten Fällen genügt es, die Benennungen der erzeugenden Elemente zu vertauschen, um Uebereinstimmung zu erzielen. Im \S\ III beschäftigt sich Verf. mit der Zusammensetzung der Gruppen von der Ordnung \(p^5\), indem er sich auf den Fall beschränkt, wo diese mehr als einen Abel'schen Teiler vom Index \(p\) besitzen. --- In dem zweiten Teile der Arbeit, welcher die \S\S\ IV-VII umfasst, wird die Untersuchung der übrigen Fälle durchgeführt und die vollständige Klassification aller Gruppen von der Ordnung \(p^5\) gegeben. Das Resultat ist folgendes: Es giebt 50 Gruppen von der Ordnung \(2^5=32\) und 66 Gruppen von der Ordnung \(3^5=243\). Die Anzahl aller Gruppen von der Ordnung \(p^5\), wenn \(p>3\), ist eine der vier Zahlen \(2p+65\), \(2p+67\), \(2p+69\), \(2p+71\), je nachdem die Primzahl \(p\) einer der vier Congruenzen genügt: \[ p\equiv-1,\, p\equiv5,\,p\equiv-5,\,p\equiv1\quad(\text{mod.}12). \]