On abelian groups. (Q1517824)

Für eine Abel'sche Gruppe von \(n\) Elementen lassen sich bekanntlich gewisse Elemente \(g_1,g_2,\dots,g_\nu\) so auswählen, dass sie bez. zu den Zahlen \(n_1,n_2,\dots,n_\nu\) gehören (d. h. dass erst die Potenzen \(g_1^{n_1},g_2^{n_2},\dots,g_\nu^{n_\nu}\) äquivalent der Einheit werden), und dass jedes Element der Gruppe einmal und nur einmal in der Form \(g_1^{a_1},g_2^{a_2},\dots,g_\nu^{a_\nu}\) \((0\leqq\alpha_k\leqq n_k)\) darstellbar ist, wobei \(n_1n_2\dots n_\nu=n\) und jede der Zahlen \(n_k\) durch die folgende \(n_{k+1}\) teilbar ist. Jedes der \(n\) Elemente einer Abel'schen Gruppe gehört also entweder zu \(n_1\) oder zu einem Divisor \(d\) von \(n_1\). Verf. löst die Frage nach der Beziehung zwischen der Anzahl \(\psi(d)\) der zu \(d\) gehörigen Elemente und der bekannten arithmetischen Function \(\varphi(d)\), einer Beziehung, welche für den Specialfall einer cyklischen Gruppe in die bekannte Relation \(\psi(d)=\varphi(d)\) übergeht. (Gleichzeitig und unabhängig vom Verf. hat Netto dieselbe Frage im zweiten Bande seiner ``Vorlesungen über Algebra'' behandelt.)