On an indeterminate equation. (Q1517971)

Der Verf. hat früher (F. d. M. 28, 192, 1897, JFM 28.0192.02) folgenden Satz bewiesen: Ist \(x^2-Dy^2=\pm1\) ganzzahlig lösbar, und ist \(x_1\), \(y_1\) die kleinste positive Lösung, so hat höchstens diese kleinste Zahl \(y_1\) die Eigenschaft, dass jeder ihrer Primteiler auch \(D\) teilt, während keine Zahl \(y\) der übrigen ganzzahligen Lösungen dieselbe Eigenschaft besitzt. Auf dieses Theorem gründet sich die Lösung der Gleichung: \[ AM_1^{x_1}M_2^{x_2}\dots M_m^{x_m}-BN_1^{y_1} N_2^{y_2}\dots N_n^{y_n} = C \] in ganzen Zahlen \(x\), \(y\), wobei \(A\), \(B\), \(M_1\), \(M_2\), ..., \(N_1\), ... positive ganze Zahlen sind und \(C=\pm1\) oder \(\pm2\) zu setzen ist. Es wird gezeigt, dass, wenn überhaupt ganzzahlige Lösungen \(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n\) existiren, solche jedenfalls nur in endlicher Anzahl vorkommen. Die Auflösung der vorgelegten Gleichung wird nämlich in folgender Weise auf die Lösung endlich vieler Pell'scher Gleichungen basirt. Es wird: \[ BN_1^{y_1} N_2^{y_2}\dots N_n^{y_n} = z \] gesetzt, was zur Folge hat: \[ AM_1^{x_1}M_2^{x_2}\dots M_m^{x_m} = z + C, \] \[ z(z+C) = ABM_1^{x_1}\dots M_m^{x_m} N_1^{y_1}\dots N_n^{y_n}. \] Die linke Seite \(z(z+C)\) ist, je nachdem \(C=\pm1\) oder \(\pm2\) ist, mit \(\frac14[(2z\pm1)^2-1]\) oder \((z\pm1)^2-1\) identisch. Man wird so in jeden Falle zur Auflösung einer Gleichung: \[ x^2-1=KA_1^{z_1}A_2^{z_2}\dots A_\varrho^{z_\varrho} \] geführt. Setzt man jetzt \(z_1=\varepsilon_1+2t_1\), ..., \(z_\varrho=\varepsilon_\varrho+2t_\varrho\) (unter den \(\varepsilon\) entweder 1 oder 2 verstanden) und benutzt die Abkürzungen: \[ KA_1^{\varepsilon_1}A_2^{\varepsilon_2}\dots A_\varrho^{\varepsilon_\varrho} = D\text{ und } A_1^{t_1}A_2^{t_2}\dots A_\varrho^{t_\varrho} = Q, \] so ist \(x^2-DQ^2=1\), und alle Primteiler von \(Q\) teilen auch \(D\). Da die \(\varepsilon\) auf 1 und 2 beschränkt sind, so hat man nur endlich viele \(D\); und da nach dem vorausgeschickten Hülfssatze immer nur die kleinste Lösung der einzelnen Pell'schen Gleichung in Betracht kommen kann, so ist die Anzahl der gesuchten Lösungen sicher nicht grösser als die Anzahl der eben genannten Zahlen \(D\). Am Schlusse der Notiz werden noch einige verwandte Probleme genannt.