On the theory of the relative quadratic number field. (Q1517992)

Die Probleme in der Theorie der quadratischen binären Formen, die den Hauptgegenstand von Gauss' disquisitiones arithmeticae bilden, werden hier in weitgehender Weise verallgemeinert. Liegt ein algebraischer Zahlkörper \(k\) zu Grunde, so gehören zu ihm, falls \(m\) den Grad von \(k\) bezeichnet, \(m-1\) conjugirte Körper \(k',k'',\dots,k^{(m-1)}\). Ist \(\mu\) eine (nicht selbst quadratische) ganze Zahl in \(k\), so bestimmt \(\sqrt{\mu}\) mit den Zahlen von \(k\) einen ``relativquadratischen'' Zahlkörper \(K(\sqrt{\mu})=K\) vom Grade \(2m\). Eines der wesentlichsten Ergebnisse der vorliegenden Abhandlung ist die Aufstellung eines allgemeinen Reciprocitätsgesetzes für quadratische Reste, welches das gewöhnliche Reciprocititätsgesetz zwischen rationalen Primzahlen nur als vereinzeltes Glied einer Kette merkwürdiger Zahlbeziehungen erscheinen lässt. Der Beweis dieses allgemeinen Gesetzes lässt sich auf die Kummer'sche Theorie der \(l^{\text{ten}}\) Potenzreste im Körper der \(l^{\text{ten}}\) Einheitswurzeln übertragen und ergiebt so einen neuen, wesentlich einfacheren Beweis des Kummer'schen Reciprocitätsgesetzes für \(l^{\text{te}}\) Potenzreste. Es mögen einige der grundlegenden Begriffe angeführt werden. Wenn \(\mathfrak p\) ein in 2 nicht aufgehendes Primideal von \(k\) ist, und \(\alpha\) irgend eine zu \(\mathfrak p\) prime ganze Zahl in \(k\), dann heisst \(\alpha\) in \(k\) ``quadratischer Rest'' nach \(\mathfrak p\), wenn der Congruenz \(\xi^2\equiv\alpha\) (mod. \(\mathfrak p\)) durch eine ganze Zahl \(\xi\) in \(k\) genügt wird, sonst ``quadratischer Nichtrest'' nach \(\mathfrak p\); je nachdem wird dem Symbol \(\left(\frac{\alpha}{\mathfrak p}\right)\) der Wert \(\pm1\) beigelegt. Sind \(\alpha\), \(\beta\) ganz und prim zu \(\mathfrak p\), so ist stets \(\left(\frac{\alpha\beta}{\mathfrak p}\right)= \left(\frac{\alpha}{\mathfrak p}\right) \left(\frac{\beta}{\mathfrak p}\right)\). Jede Zahl \(A\) des Körpers \(K=K(\sqrt{\mu})\) ist von der Gestalt \(\alpha+\beta\sqrt{\mu}\) (\(\alpha\), \(\beta\) ganze oder gebrochene Zahlen in \(k\)); durch die Substitution \(S=(\sqrt{\mu}:-\sqrt{\mu})\) geht \(A\) über in die in \(K\) zu \(A\) ``relativ conjugirte'' Zahl \(SA\). Die Differenz \(A-SA\) heisst die ``Relativdifferente'' von \(A\) in \(K\). Der grösste gemeinsame Teiler der Relativdifferenten aller ganzen Zahlen \(\Omega\) in \(K\) ist ein Ideal \(\vartheta\), die ``Relativdifferente'' von \(K\) bez. \(k\). Das Product \(N(A)\) aus \(A\) und \(SA\) heisst die ``Relativnorm'' von \(A\). Ist \(J\) ein Ideal in \(K\) und wendet man auf alle ganzen Zahlen von \(J\) die Substitution \(S\) an, so entsteht das zu \(J\) ``relativ conjugirte'' Ideal \(SJ\); das Product \(N(J)\) aus \(J\) und \(SJ\) heisst die Relativnorm von \(J\). Das Quadrat der Relativdifferente von \(K\): \(\mathfrak d=\vartheta^2\) heisst die ``Relativdiscriminante'' von \(K\). Ist \(S\mathfrak A=\mathfrak A\), wo \(\mathfrak A\) ein Ideal von \(K\), so wird \(\mathfrak A\) zu einem ``ambigen'' Ideal von \(K\); liegt überdies \(\mathfrak A\) nicht zugleich in \(K\), so wird es zu einem ``ambigen Primideal''. Gestützt auf diese Begriffe, ermittelt der Verf. zunächst (\S\ 4) die Primfactoren von \(\mathfrak d\); sodann erledigt er (\S\ 5) die Frage, wie die Primideale von \(K\) durch Zerlegung aus den Primidealen von \(k\) entstehen. Nunmehr wird (\S\ 6) das oben eingeführte Symbol \(\left(\frac{\alpha}{\mathfrak p}\right)\) erweitert. Ist \(\mathfrak w\) ein Primideal in \(k\), so wird \(\left(\frac{\mu}{\mathfrak w}\right)=+1\) oder \(-1\) oder \(=0\) gesetzt, je nachdem \(\mathfrak w\) in \(K\) in zwei verschiedene Primideale zerlegbar oder nicht, oder gleich dem Quadrat eines Primideals wird. Ist \(\mathfrak a\) irgend ein Ideal in \(k\) und ist \(\mathfrak a\) in Primideale \(\mathfrak p,\mathfrak q,\dots,\mathfrak w\) zerlegt, so ist unter \(\left(\frac{\mu}{\mathfrak a}\right)\), wenn \(\mu\) eine ganze Zahl in \(k\) ist, das Product der Symbole \(\left(\frac{\mu}{\mathfrak p}\right),\, \left(\frac{\mu}{\mathfrak q}\right),\,\dots,\, \left(\frac{\mu}{\mathfrak w}\right)\) zu verstehen. Weitere wichtige Definitionen werden in \S\ 7 eingeführt. Sind \(\mathfrak w\) ein Primideal, \(\nu\) und \(\mu\) ganze Zahlen in \(k\); ist dann \(\nu\) nach \(\mathfrak w\) der Relativnorm einer ganzen Zahl von \(K\) congruent, und existirt auch für jede höhere Potenz \(\mathfrak w^\gamma\) stets eine ganze Zahl \(A\) in \(K\), dass \(\nu\equiv N(A)\) mod. \(\mathfrak w^\gamma\) wird, so heisst \(\nu\) ein ``Normenrest'' von \(K\) nach \(\mathfrak w\), sonst ``Normennichtrest'': je nachdem hat das Symbol \(\left(\frac{\nu\mu}{\mathfrak w}\right)\) den Wert \(\pm1\). Es wird (\S\ 8, 9) das neue Symbol \(\left(\frac{\nu\mu}{\mathfrak w}\right)\) näher untersucht zunächst für den Fall, dass \(\mathfrak w=\mathfrak p\) ein (nicht in 2 aufgehendes) Primideal ist. Es ergiebt sich der Fundamentalsatz (\S\ 10), dass, wenn \(\mathfrak p\) nicht in der Relativdiscriminante von \(K(\sqrt{\mu})\) aufgeht, jede zu \(\mathfrak p\) prime Zahl \(\nu\) Normenrest von \(K\) nach \(\mathfrak p\) ist. Der Verf. wendet sich (\S\ 11) zu den Einheiten von \(k\); ist eine solche Einheit, so nennt er das System von Einheiten \(\varepsilon\xi^2\), wo \(\xi\) alle Einheiten von \(k\) durchläuft, einen ``Einheitenverband'' \(V\) von \(k\), für \(\varepsilon=1\) den ``Hauptverband'' 1. Sind \(V\), \(V'\) zwei Einheitenverbände, so bilden die Producte der Einheiten von \(V\), \(V'\) einen neuen Verband, das ``Product'' \(VV'\) der Verbände \(V\), \(V'\). Liegt ein System von. Verbänden (excl. 1) vor, deren keiner durch Multiplication aus den andern erhalten werden kann, so heissen die Verbände ``unabhängig''. Sodann werden (\S\ 12) die Begriffe des Relativconjugirten und Ambigen auf die Idealklassen \(C\) in \(K\) übertragen. Das System aller Klassen \(cC\), wo \(C\) eine bestimmte Klasse ist, \(c\) alle Klassen von \(k\) durchläuft, heisst ein ``Complex'' von \(K\), für \(C=1\) der ``Hauptcomplex'' 1. --- Daraufhin ist der Verf. in der Lage (\S\ 13), zu entscheiden, ob es stets in \(k\) Primideale giebt, nach denen irgend welche gegebene Zahlen vorgeschriebene quadratische Charaktere besitzen. Von da an tritt die Beschränkung ein, dass \(k\) nebst allen Conjugirten imaginär, und die Anzahl \(h\) der Idealklassen in \(k\) ungerade ist. Es wird (\S\ 16) die Anzahl aller ambigen Complexe in \(K\) bestimmt; es werden in Analogie zu den elementaren Definitionen die Begriffe des Charakterensystems und des Geschlechtes von Idealklassen in \(K\) festgelegt. Für die Anzahl der Geschlechter in \(K\) ergiebt sich (\S\ 19) eine obere Grenze. Ein Primideal \(\mathfrak p\) in \(k\), nach dem jede Einheit in \(k\) quadratischer Rest ist, heisst ein ``primäres Primideal'', andernfalls ein nicht-primäres, (\S\ 20). Es kommt vor allem darauf an, die Natur der primären Primideale zu ergründen, was besonders durch Weiterbildung Dirichlet'scher Reihenprincipien (\S\ 22) gelingt. Nunmehr greift die Erweiterung auf ``primäre Ideale'' \(\mathfrak a\) in \(k\) Platz (\S\ 26f.), in Bezug auf die für jede Einheit \(\xi\) in \(k\) \(\left(\frac{\xi}{\mathfrak a}\right)=+1\) ausfällt. Damit gelingt es, (\S\ 29), den bekannten Dirichlet'schen Haupsatz über die Anzahl der Geschlechter in einem qudratischen Körper auf relativquadratische zu übertragen, und vor allem, die in der Einleitung angedeuteten neuen allgemeinen Reciprocitätsgesetze(nebst den Ergänzungssätzen) für quadratische Reste in \(k\) aufzustellen und zu beweisen. Der Ref. glaubt, sich mit dieser --- im Hinblick auf die Reichhaltigkeit der fundamentalen Abhandlung --- dürftigen Skizze begnügen zu sollen. Vgl. den Bericht des Verf. über algebraische Zahlkörper, Deutsche Math. Ver. 4 (F. d. M. 28, 157, 1897, JFM 28.0157.05).