On the calculation of the most probable values of frequency-constants for data arranged according to equidistant divisions of a scale. (Q1518049)

Für die mathematische Behandlung statistischer Probleme wird eine zur Rechnung geeignete Formel gesucht, um das Integral \(\int\limits_{x_0}^{x_p}f(x)\varphi(x)dx\) näherungsweise zu bestimmen, wenn \(\varphi(x)\) eine bekannte, eindeutige, endliche und stetige Function ist, \(f(x)\) der Form nach unbekannt, jedoch ebenfalls eindeutig, endlich und stetig, ferner von \(x=x_0\) bis \(x=x_p\) positiv ist; ausserdem sollen entweder die einzelnen Werte von \(f(x)\) für die äquidistanten Argumente \(x_0,x_1,x_2,\dots,x_p\) oder die Werte \(\int\limits_{x_0}^{x_1}f(x)dx\), \(\int\limits_{x_1}^{x_2}f(x)dx\), ..., \(\int\limits_{x_{p-1}}^{x_p}f(x)dx\) bekannt sein. Beide Probleme werden auf dieselbe Form gebracht. Sodann wird dafür eine Reihenentwickelung gegeben. Eingehender ist der Fall behandelt, wo \(f(x)\) für \(x=x_0\) und \(x=x_p\) eine Berührung höherer Ordnung mit der \(x\)-Axe hat; es verschwindet alsdann eine Reihe von Differentialquotienten, wodurch eine wesentliche Vereinfachung eintritt. Die Reihe wird dann noch in der Art umgeformt, dass nach \(\xi_r=\frac12(x_{r-1}+x_r)\) entwickelt wird. Zum Schlusse sind einige Beispiele gegeben.