On the singular points of a Taylor series. (Q1518088)

I. Es sei \(f(z)=\sum a_nz^n\), \(\Delta_\nu^n=\lambda^\nu a_{n+\nu}- \frac{\nu}1\lambda_{\nu-1}a_{n+\nu-1} + \frac{\nu(\nu-1)}{1.2}\lambda_{\nu- 2}a_{n+\nu-2} -\cdots+ (-1)^\nu a_n\), wo \(\lambda\) eine (reelle oder complexe) gegebene Grösse, \(\theta\) positiv ist. Wenn bei beliebigem \(\nu\) für \(n=\infty\) der Ausdruck \[ \root n\of{|\Delta_\nu^n|\frac{(n+\nu)!}{n!\nu!}\theta^\nu} \] eine endliche obere Grenze \(\frac1A\) hat, so giebt es keinen singulären Punkt \(z\), für welchen \(|z|-\theta|\lambda-z|<A\) wäre. II. Wenn \(f(z)\) keinen singulären Punkt hat, für welchen \(|z|- \theta|\lambda-z|<A\) ist, worin \(A\) und \(\theta\) positiv sind, und wenn für \(\theta\geqq1\) der Punkt \(z=\infty\) ein Pol oder nicht singulär ist, so ist für \(n=\infty\) die obere Grenze der in I angegebenen Wurzel höchstens gleich \(\frac1A\). Beispiele (1) \(a_n = \frac1{n+a}\), (2) \(a_n = \frac1{(n+a)^p}\). Untersuchung einer Reihe, die nur einen singulären Punkt auf dem Convergenzkreis hat. Beispiel \(\sum z^ne^{n[-1+\cos(Ln)^a]}\) für \(0<\alpha<1\), \(n=1,\dots,\infty\). Wenn jede der beiden Reihen \(\sum a_nz^n\) und \(\sum b_nz^n\) nur einen singulären Punkt \(\lambda'\), \(\lambda''\) auf ihrem Convergenzkreis hat, so kann die Reihe \(\sum a_nb_nz^n\) nur den singulären Punkt \(\lambda'\) \(\lambda''\) auf ihrem Convergenzkreis haben; dieser Punkt ist singulär, wenn \(R=R'R''\) ist, wo \(R'\), \(R''\), \(R\) die Convergenzradien der drei Reihen sind.