On decomposition in partial fractions, with an appendix on expressions for powers of sines and cosines. (Q1518119)

Um die Function \(y=\frac{f(x)}{\varphi(x)[(x-b)^2+a^2]^n}\) in Partialbrüche zu zerlegen, wird \(x-b=v\), \(z=v^2+a^2\), \(\psi(v)=f(v+b):\varphi(v+b)\) und \[ \frac{\psi(v)}{v^2+a^2)^n} = \frac{\alpha_0+\beta_0v}{z^n} + \frac{\alpha_1+\beta_1v}{z^{n-1}} + \cdots + \frac{\alpha_{n-1}+\beta_{n-1}v}{z} + F(v) \] gesetzt. Durch Multiplication mit \(z^n\) folgt hieraus: \[ \psi(v) = \sum_{k=0}^{n- 1}(\alpha_k+\beta_kv)z^k+z^nF(v).\tag{"}\text{(I)}" \] Setzt man \(\psi(ai)=\lambda_0+\mu_0i\), so egiebt sich für \(v=ai\) durch Verwendung der Coefficienten \(\alpha_0=\lambda_0\), \(\alpha\beta_0=\mu_0\); wird \(\psi^\nu(ai)=\lambda_\nu+\mu_\mu i\) gesetzt, so werden durch fortgesetzte Differentiirung der Gleichung (I) für \(\alpha_h\) und \(\beta_h\) die Darstellungen gewonnen \((h\geqq1)\): \[ \begin{aligned} (2a)^{2h}\alpha_h &= \frac1h\left[(2a)(2h-2)_{h- 1}\frac{\mu_1}{1!} - 2(2a)^2(2h-3)_{h-1}\frac{\lambda_2}{2!}\right.\\ &- 3(2a)^3(2h-4)_{h-1}\frac{\mu_3}{3!} + \cdots +\begin{cases} (- 1)^{\frac{h-1}2}h(2a)^h\frac{\mu_h}{h!},&\text{wenn }h\text{ ungerade ist};\\ (-1)^{\frac h2}h(2a)^h\frac{\lambda_h}{h!},&\text{wenn }h\text{ gerade ist}.\end{cases}\end{aligned} \] \[ \begin{aligned} (2a)^{2h}\alpha\beta_h &= (2h)_h\mu_0 - (2h- 1)_h\frac{(2a)\lambda_1}{1!} - (2h-2)_h\frac{(2a)^2\mu_2}{2!}\\ &+ (2h-3)_{h-1}\frac{(2a)^3\lambda_3}{3!} - \cdots +\begin{cases} (- 1)^{\frac{h+1}2} \frac{(2a)^h \lambda_h}{h!},&\text{wenn }h\text{ ungerade ist},\\ (-1)^{\frac h2} \frac{(2a)^h \mu_h}{h!},&\text{wenn }h\text{ gerade ist}.\end{cases}\end{aligned} \] Als Beispiel wird \[ y=1:(x^2+4)^2(x^2+4x+9)^2(x^2-2x+2)^3 \] behandelt; im Zusatz werden die Gleichungen: \[ \begin{multlined} 2^h\cos^{2h-1}\varphi\sin\varphi = \frac{(2h-2)_{h-1}}{2^{h- 1}}\sin2\varphi + \frac{2(2h-3)_{h-1}}{2^{h-2}}\cos\varphi\sin3\varphi\\ + \frac{3(2h-4)_{h-1}}{2^{h-3}}\cos^2\varphi\sin4\varphi + \frac{4(2h- 5)_{h-1}}{2^{h-4}}\cos^3\varphi\sin5\varphi + \cdots + h\cos^{h- 1}\varphi\sin(h+1)\varphi,\end{multlined} \] \[ \begin{multlined} 2^{h-1}\cos^{2h}\varphi = \frac{(2h-2)_{h-1}}{2^{h- 1}}\cos\varphi\cos\varphi + \frac{(2h-3)_{h-1}}{2^{h- 2}}\cos^2\varphi\cos2\varphi\\ + \frac{(2h-4)_{h-1}}{2^{h-3}}\cos^3\varphi\cos3\varphi + \frac{(2h-5)_{h- 1}}{2^{h-3}}\cos^4\varphi\cos4\varphi + \cdots + \cos^h\varphi\sin h\varphi\end{multlined} \] abgeleitet.