Bemerkungen über einen Satz der Differentialrechnung. (Q1518144)

Gauss definirte die Stetigkeit einer Function in folgendem Sinne: ``Geht \(x\) von \(x_0\) bis \(x_1\) und nimmt \(y\) für diese beiden Werte der Veränderlichen die Werte \(y_0\) und \(y_1\) an, so giebt es zwischen \(x_0\) und \(x_1\) jedesmal einen Wert \(x'\), für welchen die Function den zwischen \(y_0\) und \(y_1\) gewählten Wert \(y'\) erhält.'' Die jetzt gültige Dirichlet'sche Definition der Stetigkeit ist enger, so dass eine Function, welche die von Gauss geforderte Eigenschaft besitzt, nicht in dem jetzigen Sinne stetig zu sein braucht. Der Verf. beweist nun den Satz: ``Hat eine Function \(f(x)\) in dem Intervalle \((a\dots b)\) einschliesslich der Grenzen die von Gauss angegebene Eigenschaft, besitzt sie ferner an jeder Stelle im Innern des Intervalls eine bestimmte Derivirte, und ist \(f(a)=f(b)\), so giebt es zwischen \(a\) und \(b\) eine Stelle \(\xi\), an welcher die Derivirte verschwindet'', welcher Satz in der Differentialrechnung nur für stetige Functionen bewiesen wird. Beispiel einer solchen Function, welche für \(x=0\) unstetig ist.