Ueber die Umformung eines uneigentlichen Doppelintegrals in ein zweimaliges Integral. (Q1518180)

Der ganz im Endlichen liegende Bereich \(\mathfrak F\), dessen Rand von jeder Parallele zur \(y\)-Axe nur in zwei Punkten geschnitten wird, sei begrenzt von den Geraden \(x=a\), \(x=a'\) und den Curven \(y_1=\varphi_1(x)\), \(y_2=\varphi_2(x)\), wo \(\varphi_1\) und \(\varphi_2\) eindeutige und stetige Functionen im Intervalle \(a\dots a'\) sind und \(\varphi_2(x)>\varphi_1(x)\) ist. Für jeden Punkt von \(\mathfrak F\) sei eine Function \(f(x,y)\) eindeutig erklärt; sie sei im Gebiete \(\mathfrak F\) nicht endlich, soll indessen mindestens bei jedem Punkte innerhalb \(\mathfrak F\) stetig sein. Unter der Voraussetzung, dass das Integral \(\int\limits_{y_1}^{y_2}|f(x,y)|dy\) für das Intervall \(a\dots a'\) von \(x\) im allgemeinen gleichmässig convergent (nach Dini) sei, zeigt der Verf., 1. dass \(\iint\limits_{(\mathfrak F)}f(x,y)\,dx\,dy\) und \(\int\limits_a^{a'}dx\,\int\limits_{y_1}^{y_2}f(x,y)dy\) existiren, wenn \(\int\limits_{y_1}^{y_2}|f(x,y)|dy\) im Intervalle \(a\dots a'\) von \(x\) eine endliche Function ist, 2. dass das Integral \(\int\limits_a^{a'}dx\,\int\limits_{y_1}^{y_2}f(x,y)dy\) absolut convergirt, wenn \(\iint\limits_{(\mathfrak F)}f(x,y)\,dx\,dy\) existirt, und dass in beiden Fällen \[ \iint\limits_{(\mathfrak F)}f(x,y)\,dx\,dy = \int\limits_a^{a'}dx\,\int\limits_{y_1}^{y_2}f(x,y)dy \] ist. Dann wird noch der besondere Fall untersucht, dass \(f(x,y)\) im Gebiete \(\mathfrak F\) nirgends negativ ist. Zum Schlusse sucht der Verf. noch die Gültigkeitsbedingungen der vorstehenden Gleichungen für den Fall auf, dass sich das Gebiet \(\mathfrak F\) ins Unendliche erstreckt.