Ueber extreme Werte der Integrale im Zusammenhange mit dem Interpolationsproblem. (Q1518188)

Verallgemeinerung früherer Resultate desselben Verf. (``Sur une question de maximum et de minimum proposée par M. Tschebycheff.'' Acta Math. 9, 57-70; F. d. M. 18, 247, 1886, JFM 18.0247.02, und ``Neue Anwendungen der Kettenbrüche''. Petersb. Denkschr. (8) 3, No. 5; F. d. M. 27, 174, 1896, JFM 27.0174.01). Zunächst wird der Fundamentalsatz bewiesen: Erfüllen die Functionen \(\lambda_1(z)\), ..., \(\lambda_{n+1}(z)\) für \(a\leqq z\leqq b\) die Bedingungen: \[ \begin{vmatrix} \lambda_1(z)&\lambda_1'(z)&\hdots&\lambda_1^{(k)}(z)\\ \lambda_2(z)&\lambda_2'(z)&\hdots&\lambda_2^{(k)}(z)\\ \hdotsfor4\\ \lambda_{k+1}(z)&\lambda_{k+1}'(z)&\hdots&\lambda_{k+1}^{(k)}(z)\end{vmatrix} >0\qquad(k=0,1,\dots,n),\tag{1} \] dann wird für \(a\leqq u_1<u_2<\cdots<u_n<u_{n+1}\leqq b\) \[ \begin{vmatrix} \lambda_1(u_1)&\lambda_1(u_2)&\hdots&\lambda_1(u_{n+1})\\ \lambda_2(u_1)&\lambda_2(u_2)&\hdots&\lambda_2(u_{n+1})\\ \hdotsfor4\\ \lambda_{n+1}(u_1)&\lambda_{n+1}(u_2)&\hdots&\lambda_{n+1}(u_{n+1}) \end{vmatrix}>0.\tag{2} \] Fügt man eine weitere Function \(\Omega(z)\) von der Beschaffenheit hinzu, dass analoge Determinanten wie (1), gebildet aus den Functionen \(\lambda_1(z)\), ..., \(\lambda_{n+1}(z)\), \(\Omega(z)\), für \(a\leqq z\leqq b\geqq0\) folgen, so wird die zu (2) analoge Determinante \(\geqq0\) in demselben Intervalle. Von diesem in Acta Math. 9 bewiesenen Satze wird hier ein neuer Beweis gegeben. Nach dieser Einleitung folgt die Discussion der Aufgabe: Es seien die Zahlen \(a\), \(b\), \(c\), \(C\) und die Werte der Integrale \[ \int_a^b f(z)\lambda_k(z)dz = \alpha_k\qquad(k=1,\dots,n)\tag{\(\alpha\)} \] gegeben. Die extremen Werte von \[ \int_a^b f(z)\lambda_{n+1}(z)dz \] sind zu finden unter der Voraussetzung, dass (\(\beta\)) \(c\leqq f(z)\leqq C\) für \(a\leqq z\leqq b\). Diese extremen Werte entsprechen solchen Functionen \(f_{max}\) und \(f_{min}\), für deren jede das ganze Intervall \((a,b)\) sich in \(n+1\) Teile zerlegt, in denen die Function \(f(z)\) den Wert \(c\) oder \(C\) behält. Die zweite Aufgabe besteht darin, die extremen Werte von \[ \int_a^v f(z)\Omega(z)dz\qquad(a<v<b) \] wie (\(\alpha\)) zu finden unter derselben Bedingung (\(\beta\)). Diese extremen Werte entsprechen solchen zwei Functionen \(f(z)\), für deren jede das ganze Intervall \((a,b)\) in \(n+2\) Teile zerfällt, in welchen die Function den constanten Wert \(c\) oder \(C\) besitzt. Ausserdem soll \[ \begin{aligned}\text{für }f_{max}\text{ sein: } f(v-\varepsilon) &=c,\,f(v+\varepsilon)=C\quad(\varepsilon\text{ unendlich klein, aber }>0),\\ \text{für }f_{min}: f(v-\varepsilon) &=C,\,f(v+\varepsilon)=c.\end{aligned} \] Die Zahlen \(a\), \(b\) sind endlich, \(c\) und \(C\) dagegen können auch unendlich sein im Grenzfälle. Der Verf. vervollständigt die Discussion, indem er die Existenz der Lösung beweist, was er in Acta Math. als a priori klar annahm. Die Untersuchung steht im Zusammenhang mit den Arbeiten von Tschebyscheff (Sur l'interpolation dans le cas d'un grand nombre de données), Korkine und Zolotareff, Stieltjes. Es folgt dann die Betrachtung einiger particulären Fälle und die Verallgemeinerung der oben erwähnten Resultate von Tschebyscheff.