Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung \(dy/dx=f(x,y)\) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitz'schen Bedingung. (Q1518199)

Unter der Voraussetzung, dass \(f(x,y)\) eine reelle stetige Function der beiden reellen unabhängigen Variablen \((x,y)\) in dem Bereiche \(|x-a|\leqq R\), \(|y-b|\leqq S\) ist, wird folgender Satz bewiesen: Es sei \(M\) der Maximalwert von \(|f(x,y)|\) in obigem Bereich und \(\varrho\) die kleinere der beiden Grössen \(R\), \(S:M\), so giebt es stets in dem Intervalle \(a-\varrho\leqq x\leqq a+\varrho\) eine Maximallösung \(\varphi_1(x)\) und eine Minimallösung \(\varphi_2(x)\) der Differentialgleichung mit dem gemeinsamen Wert \(b\) für \(x=a\); jede andere durch \((a,b)\) gehende Lösung \(\varphi(x)\) verläuft in dem Streifen \(\varphi_2(x)\leqq\varphi(x)\leqq\varphi_1(x)\). Als hinreichende Bedingung dafür, dass die Maximal- und Minimallösung zusammenfallen, also die Differentialgleichung nur eine Lösung habe, die für \(x=a\) den Wert \(b\) annimmt, wird eine solche gefunden, welche die Cauchy-Lipschitz'sche Bedingung, als speciellen Fall umfasst.