Ueber eine Klasse linearer Differentialgleichungen. (Erster Aufsatz.) (Q1518218)

Die Untersuchungen, die der Verf. im ersten Teile des Aufsatzes ``Verwendung asymptotischer Darstellungen etc.'' (Math. Ann. 49, 453; F. d. M. 28, 286, 1897, JFM 28.0286.01) für eine specielle lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung durchgeführt hat, werden hier auf die Differentialgleichung, \[ P_0\frac{d^my}{dx^m} + P_1\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \cdots + P_{m- 1}\frac{dy}{dx} + P_my = 0,\tag{1} \] deren Coefficienten \(P_\mu=a_\mu x^p+\cdots\,(\mu=0,1,\dots,m)\) ganze Functionen \(p^{\text{ten}}\) Grades von \(x\) sind, unter der Voraussetzung ausgedehnt, dass \(a_0\) nicht gleich Null ist und die \(m\) Wurzeln \(\alpha_1,\dots,\alpha_m\) der charakteristischen Gleichung \[ a_0\alpha^m + a_1\alpha^{m-1} + \cdots + a_{m-1}\alpha + a_m = 0 \] verschieden sind. Die Laplace'sche Transformirte der Differentialgleichung (1) hat dann im Endlichen die singulären Stellen der Bestimmtheit \(\alpha_1,\dots,\alpha_m\) während \(z=\infty\) eine Stelle der Unbestimmtheit ist. Die zur singulären Stelle \(\alpha_h\) gehörige determinirende Gleichung hat die Wurzeln 0, 1, ..., \(p-2\) und \(\lambda_h\). Indem nun ganzzahlige Werte von \(\lambda_h\) ausgeschlossen werden, erhält man die asymptotische Darstellung der Integrale von (1) durch die Normalreihen \[ S_h = e^{a_hx}x^{-\lambda_h-1}\sum_{\mu=0}^\infty\frac{A_{h\mu}}{x^\mu} \quad(h=1,2,\dots,m). \] Die Poincaré'schen Untersuchungen über diese Darstellung werden so weit ergänzt, dass es möglich ist, das Verhalten der Integrale in der ganzen Umgebung der singulären Stelle \(x=\infty\) zu übersehen, während es sich bei Poincaré nur um das Verhalten der Integrale auf einem bestimmten, nach der singulären Stelle gebenden Wege handelt. Die für den allgemeinen Fall angedeuteten Entwickelungen werden für die Differentialgleichungen zweiter und dritter Ordnung ausgeführt, und zuletzt wird die lineare Differentialgleichung dritter Ordnung mit linearen Coefficienten behandelt.