Ueber das Verhalten der Integrale von Differentialgleichungen bei der Annäherung der Veränderlichen an eine Unbestimmtheitsstelle. (Zweiter und dritter Teil.) (Q1518227)

Die im ersten Teil (J. für Math. 118; F. d. M. 28, 278, 1897, JFM 28.0278.01) für die Riccati'sche Differentialgleichung gewonnenen Methoden werden hier auf allgemeinere Differentialgleichungen erster Ordnung übertragen. Im ersten Teil wird die Differentialgleichung \[ x^{k+1}\frac{dy}{dx} = \frac{P(x,y)}{Q(x,y)} = \frac{A_0y^{m+2}+ A_1y^{m+1}+\cdots+A_{m+2}}{B_0y^m+ B_1y^{m-1}+\cdots+B_m}, \] in der \(A_i=a_i+a_i'x+\cdots\), \(B_i=b_i+b_i'x+\cdots\) für hinreichend kleine Werte von \(|x|\) convergirende Potenzreihen bedeuten, unter der Voraussetzung, dass die Coefficienten \(a\), \(b\) alle reell sind, untersucht und das Verhalten der reellen Integrale, falls \(x\) sich als reelle positive Grösse der Grenze Null nähert (\(\lim x=+0\)), bestimmt. Es ergiebt sich, dass der Grenzwert eines derartigen Integrals, falls ein solcher vorbanden ist, der Gleichung \(P(0,\alpha)=0\) genügt. Einer reellen Wurzel \(\alpha\) dieser Gleichung entsprechen unendlich viele Integrale oder nur ein einziges Integral mit dem Grenzwerte \(\alpha\), je nachdem \(\frac{P'(0,\alpha)}{Q(0,\alpha)}\) positiv oder negativ ist. Jedes Integral der Gleichung(1) \((k>0)\), das für \(\lim x=+0\) den Grenzwert \(\varepsilon_0\) besitzt, wird durch die der Gleichung formell genügende, im allgemeinen divergente Reihe \[ \eta = \varepsilon_0 + \varepsilon_1x + \varepsilon_2x^2 + \cdots \] asymptotisch dargestellt. Im dritten Teil wird die Differentialgleichung \[ x^{k+1}\frac{dy}{dx} = G(x,y) = ay + \sum A_{\lambda,\mu}x^\lambda y^\mu \left(\begin{aligned} \lambda &=1,\,\mu=0,\\ \lambda &+\mu>1\end{aligned}\right),\tag{2} \] wo \(G\) eine in der Umgebung von \(x=0\), \(y=0\) reguläre Function mit complexen Coefficienten darstellt und \(k\) eine von Null verschiedene positive ganze Zahl bedeutet, untersucht und folgender Satz bewiesen: Je nachdem der reelle Teil von \(a\) positiv oder negativ ist, giebt es unendlich viele Integrale oder nur ein einziges Integral der Differentialgleichung (2), welches für \(\lim x=+0\) den Grenzwert Null besitzt. Im Falle \(R(a)>0\) sind zwei positive Grössen \(x_0\) und \(\eta_0\) so vorhanden, dass jedes Integral \(y\), dessen absoluter Betrag für \(x=x_0\) kleiner als \(\eta_0\) ist, für \(\lim x=+0\) verschwindet. Dieser Satz führt zur asymptotischen Darstellung der fraglichen Integrale vermittelst der der Gleichung (2) formell genügenden Potenzreihe. Daran schliesst sich die asymptotische Darstellung der Integrale, wenn \(x\) mit dem constanten Argument \(\omega\) zur Grenze 0 geht. Ferner wird unter der Voraussetzung, dass \(G(x,y)=ay+\mathfrak P(x,y)\), \(\mathfrak P(0,0)=0\) ist, \(y\) in eine Reihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty Y_n\) entwickelt, welche, wenn \(R(a)\) positiv ist, in einem Intervall \(0\leqq x\leqq x_0\) (\(x_0\) positiv und hinreichend klein) gleichmässig convergirt. Die Reihenglieder \(Y_n\) werden durch successive Integrationen ermittelt. In Verbindung mit dieser analytischen Darstellung von \(y\) steht eine asymptotische Darstellung in Form einer divergenten Reihe, die nach Potenzen von \(x\) und einem Exponentialausdrucke fortschreitet.