Ueber eine Differentialgleichung erster Ordnung. (Q1518229)

Im ersten Aufsatz (siehe JFM 29.0277.01) wird die Differentialgleichung untersucht: \[ \frac{dy}{dx} = F\left(\frac1x,y\right) = ay + f\left(\frac1x,y\right)\qquad(f(0,0)=0), \] in der \(f\) in eine Potenzreihe von \(\frac1x\) und \(y\) entwickelbar ist, die in der Umgebung von \(x=\infty\), \(y=0\) convergirt. Es handelt sich um die asymptotische Darstellung der Integrale \(y\), die sich für \(\lim x=\infty\) der Grenze Null nähern. Diese war vom Verf. bereits früher im J. für Math. 118 und 119 (F. d. M. 28, 278, 1897, JFM 28.0278.01, und vorangehendes Referat, JFM 29.0276.01) gegeben. Allein hier wird sie auf Grund der convergenten Reihen entwickelt, die man nach der Methode der successiven Annäherungen für die bezeichneten Integrale erhält. Dieses Verfahren lässt sich verallgemeinern und hat den Vorteil, dass eine convergente Entwickelung neben der zur asymptotischen Darstellung dienenden im allgemeinen divergenten Reihe nach Potenzen von \(1/x\) erscheint. In dem zweiten Aufsatz erfolgt eine asymptotische Darstellung der Integrale der Differentialgleichung: \[ x\frac{dy}{dx} = g(y)+xyG(x,y), \] die sich mit \(x\) der Grenze Null nähern. Hierin ist \(g(y)=a_1y^2+a_2y^3+\cdots\) (\(a_1\) von Null verschieden) und \(G(x,y)\) eine Potenzreihe von \(x\) und \(y\). Die Darstellung geschieht im Anschluss an den ersten Aufsatz und lautet: \[ y = \frac{c_1}t + \frac{c_2}{t^2} + \cdots + \left(\frac{c_1'}t + \frac{c_2'}{t^2} + \cdots\right), \] wo \(c_1=1/a_1\) und \(c_2\) eine willkürliche Constante ist, von der die folgenden Coefficienten abhängen, und zwischen \(x\) und \(t\) der Zusammenhang \(x=e^{-t}t\frac{a_2}{a_1^2}\) besteht. Die Reihe \(\frac{c_1}t + \frac{c_2}{t^2} + \cdots\) ist für hinreichend grosse Werte von (\(t\)) convergent, während die Reihe \(\frac{c_1'}t + \frac{c_2'}{t^2} + \cdots\) im allgemeinen divergent ist.