Note au sujet de l'intégration approchée de certaines équations différentielles linéaires du second ordre. (Q1518238)

In vielen Fällen, besonders in der angewandten Mechanik, kommt es vor, dass die in einer Differentialgleichung für \(y\) auftretenden Coefficienten nur näherungsweise bekannt sind. Alsdann wird jeder Ausdruck für \(y\), der, in der linken Seite der Differentialgleichung substituirt, dieser einen kleineren Wert giebt, als der Irrtum beträgt, der aus der Unsicherheit der Coefficienten entspringen kann, als eine für den vorliegenden Zweck hinreichende Lösung betrachtet werden können. Von diesem Gesichtspunkte aus behandelt der Verf. folgende zwei Formen linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung: \[ \frac{d^2y}{dx^2}+f(x)\frac{dy}{dx}+\alpha^2\varphi(x)y = 0,\, \frac{d^2y}{dx^2}+\alpha f(x)\frac{dy}{dx}+\alpha^p\varphi(x)y = 0, \] wo \(\alpha\) eine sehr grosse absolute Zahl ist, \(x\), \(f(x)\) und \(\varphi(x)\) aber endliche, nicht sehr grosse Werte innerhalb der betrachteten Grenzen haben sollen. Die erste Gleichung entspricht dem Falle, dass der Coefficient von \(y\) allein, die zweite (\(p\) beliebig) dem, dass die Coefficienten von \(y\) und \(dy/dx\) beide sehr gross sind. Als hinreichende Lösung wird ein solcher Wert \(y\) betrachtet, der, in den linken Seiten substituirt, einen Ausdruck ergiebt, der \(1/\alpha\) als Factor enthält. Eine solche Lösung wird für die erste Gleichung in der Form \[ y = \frac{\{Ae^{\alpha\int\sqrt{-\varphi(x)}dx+1/\alpha\int\zeta_2dx} + Be^{-\alpha\int\sqrt{-\varphi(x)}dx-1/\alpha\int\zeta_2dx}\}e^{-\frac12\int f(x)dx}}{\root4\of{\varphi(x)}} \] erhalten, wo \[ \zeta_2 = -\frac{\zeta_1^2+f(x)\zeta_1+\zeta_1'}{2z},\,\zeta_1 = - \frac{z'}{2z}-\frac12f(x) \] und \(A\) und \(B\) willkürliche Constanten sind. Die zweite der obigen Gleichungen lässt sich auf die erste zurückführen, wird aber auch direct behandelt. Bemerkenswert ist die Anwendung obiger Formel zur Herleitung angenäherter Ausdrücke der Integrale der Gleichung \(xd^2y/dx^2+(2n+1)dy/dx+xy=0\) für sehr grosse Werte von \(x\), da die Substitution \(x=\alpha\xi\) zur ersten der obigen Gleichungsformen führt. Man erhält \[ y = \frac1{x^n\sqrt x}\left(C\cos\left(x+\frac{n^2-\frac14}{2x}\right) + D\sin\left(x+\frac{n^2-\frac14}{2x}\right)\right). \] Den Beschluss bilden Bemerkungen für den Fall, dass die lineare Differentialgleichung nicht homogen ist.