Su di un sistema generale di equazioni che si può integrare col metodo delle caratteristiche. (Q1518245)

Das zu integrirende Gleichungssystem lautet: \[ \frac{\partial^2u_i}{\partial x^2} - b^2\frac{\partial\theta}{\partial x_i} - a^2\sum_1^m{}_i\frac{\partial^2\varpi_{l,i}}{\partial x_i} - X_l = 0\quad(l=1,2,\dots,m)\tag{1} \] wo \[ \theta=\sum_1^m{}_i\frac{\partial u_i}{\partial x_i},\quad\varpi_{h,k} = \frac{\partial u_h}{\partial x_k} - \frac{\partial u_k}{\partial x_l} \] und die \(X_l\) gegebene Functionen der \(m+1\) Variabeln \(x,x_1,\dots,x_m\) bedeuten. Denkt man sich \(x\) als die Zeit und \(x_1,\dots,x_m\) als orthogonale Coordinaten in einem linearen \(n\)-dimensionalen Raume, so stellen die Gleichungen (1) die elastische Bewegung eines isotropen Körpers in diesem Raume dar. Die \(u_i\) bedeuten die Componenten der Verrückung, \(\theta\) die Dilatation und \(\varpi_{h,k}\) die Rotation des Körpers um die Schnitte je zweier der Coordinatenebenen. Zum Zwecke der Integration betrachtet der Verf. \(x,x_1,\dots,x_m\) als die Coordinaten eines Punktes in einem linearen \((m+1)\)-dimensionalen Raume, bezeichnet mit \(S_{m+1}\) einen endlichen Teil dieses Raumes, mit \(\Sigma_m\) die ihn begrenzende Mannigfaltigkeit von \(m\) Dimensionen und wendet auf den Raum \(S_{m+1}\) das Green'sche Theorem an in der Gestalt \[ \int_{S_{m+1}}\left(\sum_1^m{}_iX_iu_i' - \sum_1^m{}_iX_i'u_i\right)dS_{m+1} + \int_{\Sigma_m}\left(\sum_1^m{}_iU_iu_i' - \sum_1^m{}_iU_i'u_i\right)d\Sigma_m=0, \] wo \[ U_l = \frac{\partial u_l}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial n} - b^2\theta\frac{\partial x_i}{\partial n} - a^2\sum_1^m{}_i \varpi_{l,i}\frac{\partial x_i}{\partial n} \] und \(n\) die Richtung der Normale nach dem Innern von \(S_{m+1}\) bezeichnet. \(u_1',\dots,u_m'\) ist ein zweites, dem System (1) genügendes Functionensystem, wenn in demselben für die \(X_l\) andere Functionen \(X_l'\) substituirt werden. Die Green'sche Formel dient zum Ausgangspunkte eines Integrationsverfahrens, durch welches die Werte der \(u_l\) in einem beliebigen Punkte (\(x,x_1,\dots,x_m\)) mittels der Werte bestimmt werden, welche die \(u_l\) und ihre Derivirten erster Ordnung in einer \(m\)- dimensionalen Mannigfaltigkeit \(\Sigma_m\) annehmen, die von allen Parallelen zur \(x\)-Axe nur in einem Punkte geschnitten wird, im übrigen aber beliebig ist.