Sulla risoluzione approssimata delle equazioni alle differenze. (Q1518257)

Es sei die lineare Differenzengleichung \[ F(\varphi) \equiv \varphi(x+n) + \alpha_1(x)\varphi(x+n+1) + \cdots+ \alpha_{n-1}(x)\varphi(x+1) + \alpha_n(x)\varphi(x) = 0 \] gegeben, und \(\omega_1\), ..., \(\omega_n\) sei ein Fundamentalsystem von Integralen derselben; dann wird \[ \begin{multlined} \mathfrak F_1(\varphi) \equiv \alpha_n(x+n)\varphi(x+n) + \alpha_{n+1}(x+n-1)\varphi(x+n-1) + \cdots\\ + \alpha_1(x+1)\varphi(x+1) + \varphi(x) = 0\end{multlined} \] als die ``Adjungirte'' der ersteren bezeichnet. Die Integrale derselben \(\mu_1\), ...,\(\mu_n\) sind Multiplicatoren von \(F\), so dass \(\mu_iF=\Delta G_i\), wo \(G_i\) eine lineare Differenzenform \((n-1)^{\text{ter}}\) Ordnung bedeutet. Zu jedem System \(\mu_1\), ...,\(\mu_n\) giebt es ein bestimmtes Fundamentalsystem von \(F=0:\omega_1,\dots,\omega_n\), welches dem ersteren contragredient ist (vgl. Bortoletti in Rom. Acc. L. Rend. (5) \(5_1\), 349; F. d. M. 27, 262, 1896, JFM 27.0262.01). Nach einem Theorem von Poincaré ist \(\lim\limits_{\nu=\infty}\left|\frac{\mu_i(x+\nu+1)}{\mu_i(x+\nu)}\right|\) gleich dem Modul einer der Wurzeln der Gleichung \[ a_ny^n+a_{n-1}y^{n-1}+\cdots+a_1y+1 = 0, \] wo \(a_1\), ..., \(a_n\) die Grenzwerte von \(\alpha_1\), ..., \(\alpha_n\) sind, wenn \(x\) in der Richtung der positiven reellen Axe ins Unendliche geht. Unter der Voraussetzung, dass eine der Wurzeln \(y\) einen grösseren Modul als alle übrigen habe, möge \(\lim\limits_{\nu=\infty}\frac{\mu_1(x+\nu+1)}{\mu_1(x+\nu)}\) diesem Modul gleich sein; dann ist \(\lim\limits_{\nu=\infty}\frac{\theta^\nu\mu_i}{\theta^\nu\mu_1}=0\) \((i=2,3,\dots,n)\), wo \(\theta^\nu\varphi(x)=\varphi(x+\nu)\) gesetzt ist. Bildet man nun den Ausdruck \(\lambda_\nu=\sum\limits_{i=1}^{i=n}\omega_i\theta^\nu\mu_i\), wo \(\omega_1\), ..., \(\omega_n\), \(\mu_1\), ..., \(\mu_n\) unter einander contragredient sind, so ist \(\lambda_\nu\) nach dem Appell'schen Theorem, das sich auf die Differenzengleichungen ausdehnen lässt, rational durch die Coefficienten \(\alpha_1\) ..., \(\alpha_n\) und die \(\theta\alpha_i\), \(\theta^2\alpha_i\), ... ausdrückbar, und man erhält \[ \lim_{\nu=\infty}\frac{\lambda_\nu}{\theta\lambda_{\nu-1}} = \lim_{\nu=\infty}\frac{\sum\limits_{i=1}^n \omega_i\theta^\nu\mu_i}{\sum\limits_{i=1}^n \theta\omega_i\theta^\nu\mu_i} = \frac{\omega_1}{\theta(\omega_1)}. \] Somit ist \(\omega_1\) auf approximativem Wege als Integral einer linearen Differenzengleichung erster Ordnung mit rationalen Coefficienten gegeben. Diese Lösung ist analog der Bernoulli'schen approximativen Auflösung einer algebraischen Gleichung mittels des Quotienten zweier aufeinander folgenden Summen von Wurzelpotenzen.