Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes. Tome II: La méthode de Laplace. Les systèmes en involutions. La méthode de M. Darboux. Les équations de la première classe. Transformations des équations du second ordre. Généralisations diverses. 2 Notes. (Q1518261)

Der vorliegende, das Werk abschliessende zweite Band beginnt mit der Integration der Laplace'schen Gleichungen. Durch einen vom Verf. schon vorher (Amer. Journ. 18) veröffentlichten fruchtbaren Satz, welcher für die Gliederanzahl der Laplace'schen Reihe bisweilen eine obere Grenze festsetzt, sowie durch Aufstellung entsprechender Sätze für allgemeine lineare (Legendre'sche) Gleichungen werden die bisherigen Darstellungen dieses Gegenstandes (Imschenetzky, Darboux) in willkommener Weise ergänzt. Der Schwerpunkt des Bandes wie des ganzen Werkes liegt in der den beiden folgenden Kapiteln zugeteilten Auseinandersetzung der Darboux'schen Theorie, zu der die im letzten Kapitel des ersten Bandes dargestellte allgemeine Theorie der Charakteristiken eine Vorbereitung bildete. In der klaren Entwickelung dieser allgemeinen Integrationsmethode, deren erste, allzu condensirte Fassung eine grosse Zahl zum Teil sehr schwer zugänglicher Monographien veranlasst hatte, in den beständigen Hinweisen auf ihre mannigfachen Beziehungen zu specielleren und allgemeineren Problemen, in der vortrefflichen Erläuterung an geschickt ausgewählten, interessanten Beispielen ist das Hauptverdienst des Buches zu erblicken. Die zum Verständnisse der Darboux'schen Methode erforderliche Theorie der unbeschränkt integrablen und der Involutionssysteme wird auf Grund der Arbeiten von Lie und König erledigt. Die so gewonnenen Resultate werden (immer unter ausgedehnter Anwendung des Begriffes der charakteristischen Mannigfaltigkeiten und der sich darbietenden geometrischen Interpretationen) dazu benutzt, die gemeinsamen Integrale einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung und einer solchen \(n^{\text{ter}}\) Ordnung zu untersuchen und die Bedingungen dafür aufzustellen, dass diese Gleichungen in Involution sind. Die ganze Untersuchung --- um wenigstens ein Resultat anzugeben --- gipfelt in dem Satze, dass jede Integralfläche eines Involutionssystems der geometrische Ort von Elementenmannigfaltigkeiten ist, welche nur von einer endlichen Anzahl von Constanten abhängen, und dass das Integral infolge dessen durch Integration eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen gefunden werden kann. Die Beziehungen des letzteren zu den der vorgelegten Gleichung zugehörenden Systemen der Charakteristiken \(n^{\text{ter}}\) Ordnung leiten in einfachster Weise zu der Darboux'schen Problemstellung (Ann. de l'Éc. Norm., 1870) über; und alles Folgende erstreckt sich sodann auf die Frage der Existenz von integrablen Combinationen jener Systeme, wobei der aus der Theorie der Monge-Ampere'schen Gleichungen bekannte Begriff des Zwischenintegrales seine Verallgemeinerung findet und zur Einführung der ``Invarianten'' Veranlassung giebt, d. h. solcher Functionen \(u\), \(v\) von \(x\), \(y\), \(z\) und der Ableitungen von \(z\) bis zu einer bestimmten Ordnung hin, dass die Gleichung \(u=\varphi(v)\), wo \(\varphi\) eine willkürliche Function, im allgemeinen von jedem Integrale der vorgelegten Gleichung erfüllt wird. Hiernach beruht schliesslich alles auf der Bestimmung der Invarianten eines Systems oder beider Systeme der Charakteristiken, von deren Natur sonach die Anzahl und Ordnung der Invarianten abhängt; alle in Betracht kommenden Möglichkeiten werden einer ausführlichen Behandlung unterzogen. Inwiefern die vor der Darboux'schen Abhandlung bekannten Integrationsmethoden von der Darboux'schen als Specialfälle umfasst werden, findet sich an den geeigneten Stellen mit der wegen der principiellen Wichtigkeit erwünschten Breite auseinandergesetzt; andererseits aber wird an dem Beispiele der Gleichung \(\partial^2z/\partial x\partial y=f(z)\) im Anschlusse an Lie gezeigt, dass die in Rede stehende Methode keineswegs die allgemeinste ist, indem nur für den Fall \(f(z)=Cw^{cz}\)(Liouville'sche Gleichung) ihre Anwendung zum Ziele führt, so dass also beispielsweise die Gleichung \(\partial^2z/\partial x\partial y=\sin z\), auf deren Integration sich die Bestimmung Aer Flächen constanten Krümmungsmasses zurückfahren lässt, nicht der Darhoux'sche Klasse angehört. --- Endlich lehrt eine Schlussbetrachtung, welche zu einem der folgenden Kapitel hinüberführt, mit Hülfe der continuirlichen Transformationsgruppen beliebig viele nach der Darboux'schen Methode integrirbare Gleichungen bilden. Das zunächst folgende Kapitel mit dem Titel ``Die Gleichungen der ersten Klasse'' sucht die Betrachtungen von Ampere über die Allgemeinheit eines Integrales zu beurteilen und die von ihm angegebenen Definitionen zu präcisiren. Die neuen Definitionen führen alsbald zurück zu den Untersuchungen der vorhergehenden Darboux'schen Theorie und zu deren Beleuchtung von einem neuen Gesichtspunkte aus, und weiter zu Problemen, bei welchen es sich darum handelt, die sämtlichen Formen von Differentialgleichungen aufzustellen, deren Integrale eine vorgeschriebene allgemeine Gestalt besitzen. Die auf diese und verwandte Probleme sich beziehenden Arbeiten, namentlich von Moutard, M. Lévy und von Weber, finden eine eingehende Würdigung. In dem vorletzten Kapitel wird der Versuch gemacht, die im Laufe der vorangehenden Entwickelungen angewandten Transformationen, welche die Zurückführung der vorgelegten Gleichung auf eine unmittelbar integrable Form bezwecken, auf einige allgemeine Typen zu reduciren. Hier zeigt sich der fundamentale Unterschied gegen die Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, weil das dort nie versagende Hülfsmittel der Berührungstransformation bei den Gleichungen zweiter Ordnung ein Analogon nicht zu haben scheint. Zu den allgemeinsten der bekannten hier in Betracht zu ziehenden Transformationen gehören die Bäcklund'schen, deren Wichtigkeit für die Flächentheorie Darboux im dritten Bande seiner ``Leçons'' ausführlich dargethan hatte; ihre Bedeutung für die Integration der Gleichungen zweiter Ordnung und ihre Anwendbarkeit bei der Lösung vieler noch unerledigten Probleme ist eines der wichtigsten Resultate des anregenden Kapitels. Die den Band beschliessenden ``verschiedenen Verallgemeinerungen'' enthalten in der Hauptsache die Ausdehnung der Darboux'schen Methode auf eine Gleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung und auf ein System von \(n\) Gleichungen erster Ordnung mit \(n\) unbekannten Functionen. Dem Verf. scheint der hierbei von ihm eingeschlagene, vom Cauchy'schen Probleme ausgehende Weg ``natürlicher und fruchtbarer'' zu sein als der früher (J. für Math. 81, 93) von Hamburger benutzte; bei der Wichtigkeit des Gegenstandes wäre eine Darlegung der nicht ohne weiteres ersichtlichen Gründe erwünscht gewesen. Zwei Noten: 1) ``Ueber die Hülfsgleichung'' (vgl. Darboux, C. R. 96, 766), 2) ``Ueber die Charakteristiken der simultanen Gleichungen'', sind dem Werke beigegeben.