Sull'integrazione dell'equazione \(\Delta_2\Delta_2u=0\). (Q1518290)

Die Integration der Gleichung \(\Delta_2\Delta_2u=0\) für einen ebenen Bereich bei gegebenen Randwerten ist nur für sehr einfache Formen der Begrenzung völlig durchgeführt. Hier wird gezeigt, dass die Untersuchung stets reducirt werden kann auf die conforme Abbildung des Bereichs auf einen Kreis und auf die Auflösung eines Systems unendlich vieler linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten. Die Auflösung dieses Systems bietet die Hauptschwierigkeit; unter gewissen Einschränkungen führen successive Approximationen zum Ziel. Alsdann erhält man \(u\) als Summe eines einfachen und eines doppelten Integrals, welche direct von den gegebenen Grössen des Problems und dem Parameter der conformen Abbildung des betrachteten Bereichs abhängen.