Classificazione delle equazioni alle derivate parziali del secondo ordine, che ammettono un gruppo infinito di trasformazioni puntuali. (Q1518305)

Der Verf. knüpft an die von Lie skizzirte allgemeine Integrationstheorie von Differentialgleichungen des \(R_3\) an, die eine unendliche Gruppe gestatten, und will einen Teil des Lie'schen Programms ausführen. Er beschränkt sich auf Gruppen von Punkttransformationen und vereinfacht die Untersuchung zunächst durch folgende Bemerkung: Wenn eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung eine unendliche Gruppe \(G\) gestattet, in der eine ebenfalls unendliche Gruppe \(g\) enthalten ist, so gestatten die Hülfsgleichungen erster Ordnung, auf deren Integration alles hinauskommt, ihrerseits eine gewisse Gruppe, die endlich oder unendlich sein kann. Demnach ist es zweckmässig, zunächst nur nach solchen Differentialgleichungen zweiter Ordnung zu fragen, die eine unendliche Gruppe gestatten, in der keine ebenfalls unendliche Untergruppe enthalten ist. Ja, durch die Bestimmung aller dieser Differentialgleichungen ist sogar die Ausführung jenes Lie'schen Programms so weit gefordert, dass nur noch Untersuchungen über partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, die eine endliche oder unendliche Gruppe gestatten, übrig bleiben. Denn, wie der Verf., allerdings ohne den Beweis auszuführen, mitteilt: Jede unendliche Gruppe \(G\) enthält eine unendliche Untergruppe \(g\), deren allgemeine infinitesimale Transformation nur von einer willkürlichen Function mit einem Argumente abhängt, nicht aber von einer willkürlichen Constante, so dass also in \(g\) keine durch Differentialgleichungen definirbare unendliche Untergruppe vorhanden ist. Ueberdies lässt sich jede Gruppe \(g\) von dieser Beschaffenheit durch geeignete Wahl der Veränderlichen auf die Form bringen: \[ \xi(x_1)X_0f + \sum_i^{1,\dots,s}\frac{d^i\xi}{dx_1^i}X_if,\tag{"}\text{(I)}" \] wo \(\xi(x_1)\) die willkürliche Function ist und die \(X_if\) bestimmte infinitesimale Transformationen sind. Der Verf. bestimmt nun im \(R_3\) alle unendlichen Gruppen von der Form (I) und findet in dem Falle, dass nicht alle \((X_iX_k)\) verschwinden, dass also die Gruppe mit der unendlichen Gruppe aller Transformationen des \(R_1\) gleichzusammengesetzt ist, 9 Typen von solchen Gruppen (die Zahl \(s\) ist \(\leqq5\)), in dem Falle aber, dass alle \((X_iX_k)\) verschwinden, dass also die Gruppe mit der unendlichen Gruppe: \(\xi(x)q\) der Ebene gleichzusammengesetzt ist, 14 Typen. Zu den gefundenen Typen berechnet er dann die zugehörigen invarianten partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die, nebenbei bemerkt, alle von \(r\) frei sind.