Ueber den harmonischen Pol. (Q1518435)

Es seien \(P_1,P_2,\dots,P_{n+1},M\) Punkte einer Geraden \(l\). Durch eine Kette von Projectivitäten ordnet Klug der Gruppe \(P_1P_2\dots P_n\) bezüglich \(M\) einen Punkt \(Q_{n+1}\) zu, welcher nichts anderes ist, als Poncelet's harmonischer Mittelpunkt (centre des moyennes harmoniques) von \(P_1P_2\dots P_n\) bezüglich \(M\). Die Gruppe \(Q_1Q_2Q_3\dots Q_{n+1}\) der Punkte, welche \(P_2P_3\dots P_{n-1}\), \(P_1P_3\dots P_{n+1}\), ..., \(P_1P_2\dots P_n\) bezüglich \(M\) entsprechen, hat bezüglich \(M\) denselben harmonischen Mittelpunkt \(N\) wie \(P_1P_2P_3\dots P_{n+1}\); es besteht die Projectivität \[ MNP_1P_2\dots P_{n+1}\barwedge MNQ_1Q_2\dots Q_{n+1}, \] Leitet man aus \(Q_1Q_2Q_3\dots Q_{n+1}\) auf analoge Weise die Gruppe \(R_1R_2R_3\dots R_{n+1}\) ab, aus dieser die Gruppe \(S_1S_2S_3\dots S_{n+1}\) und fährt so ohne Ende fort, so zieht sich die Gruppe zum Schluss um \(N\) zusammen. Der Beweis für diese Thatsachen würde sich unmittelbar aus evidenten Schwerpunktsätzen ergeben haben, wenn man eine zu \(MP_1P_2\dots P_{n+1}\) perspectivische Gruppe benutzt, bei welcher \(M\) ins Unendliche entfernt ist. Aehnlich kann man die Beweise für die analogen Sätze vereinfachen, bei denen \(P_1,P_2,\dots,P_{n+1}\) Punkte im Raum sind und statt \(M\) eine Ebene eintritt, und bei denen statt \(M,P_1,P_2,\dots,P_{n+1}\) Gerade \(m,p_1,p_2,\dots,p_{n+1}\) eintreten.