Der Pascal'sche Satz. (Q1518584)

Die Bedingung dafür, dass 6 Punkte \(P_i\,(i=1,\dots,6)\) auf einem Kegelschnitte \(C_2\) liegen, erhält man auf zwei Wegen. Einmal unmittelbar durch Nullsetzen der bekannten sechsreihigen Determinante \(U\), deren Elemente die Quadrate und Producte der Coordinaten der Punkte \(P_i\) sind, zweitens durch Nullsetzen einer Differenz \(V\) von zwei Producten aus dreireihigen Determinanten, was aussagt, dass \(C_2\) dem Büschel angehört, der etwa durch die Geradenpaare \(\overline{P_1P_2}\), \(\overline{P_3P_4}\); \(\overline{P_1P_3}\), \(\overline{P_2P_4}\) bestimmt ist. Es muss also bis auf einen numerischen Zahlfactor \(c\) \(U\) mit \(V\) übereinstimmen: \(U=cV\), und es handelt sich um einen directen Beweis dieser Identität. Unterwirft man die sechs Punkte \(P\) allen \(6!\) Permutationen, so bleibt \(U\) bis auf das Vorzeichen unverändert, während \(V\) \(6!\) Werte \(V_i\) annimmt, die sich also nur durch das Vorzeichen unterscheiden. Es genügt daher, \(U\) in der Form \(\sum c_iV_i\) darzustellen, was durch Zerschneidung von \(U\) nach Colonnen, resp. Zeilen erreicht wird. Die Methode lässt sich nach Angabe des Verf. auf die Untersuchung höherer Curven ausdehnen.