Untersuchung über die Theorie der isothermen Flächen. (Q1518657)

Unter ,,Isothermflächen'' versteht man nach Darboux Flächen mit isothermen Krümmungslinien. ,,... Hauptziel'' (der vorliegenden Arbeit) ,,ist, die Bestimmung aller Isothermflächen von der Lösung partieller Differentialgleichungen abhängig zu machen, für welche Methoden zur Auffindung von Particularlösungen vorhanden sind; ... es gelingt, den Zusammenhang der betrachteten Flächen mit der Theorie der linearen partiellen Differentialgleichungen mit gleichen Invarianten durchzuführen.'' Abschnitt I führt zu folgendem Resultat: Notwendig und hinreichend dafür, dass \(x\), \(y\), \(z\) cartesische Coordinaten einer Isothermfläche mit dem Linienelement \(\sqrt{du^2+dv^2}/w\) sind, ist: \[ \mathfrak F(w)=\mathfrak F(wx)=\mathfrak F(wy)=\mathfrak F(wz)=\mathfrak F(w\sum x^2), \] worin \(\mathfrak F(\Theta)=\frac1{\Theta}\frac{\partial^2\Theta}{\partial u\partial v}\) und \(u,\,v\) die Parameter der Krümmungslinien sind. Verf. nennt die Fläche ,,zur Invariante \(h=\mathfrak F(w)\) gehörig'' und untersucht zunächst die Bedingungen, denen \(h\) unterworfen ist, in folgender Weise: Notwendig und hinreichend für die Existenz der Fläche ist die Möglichkeit, die drei Fundamentalgleichungen für \(L\), \(M\), \(N\) unter der Annahme \(M=0\) integriren zu können. Durch eine umständliche Rechnung, deren Kern wir nicht zu erkennen vermögen, gelangt Verf. zu folgenden Resultaten: (Abschnitt III, S. 21ff.) Sollen zur Invariante \(h\) Isothermflächen gehören, so muss \(h\) die mittlere zweite Ableitung einer Function \(\zeta\) sein, die der Differentialgleichung vierter Ordnung \(\mathfrak F(\sqrt{\Delta\zeta})=h\) genügt. (Abschnitt IV, S. 23.) Genügt \(R\) der Differentialgleichung: \(\mathfrak F(R\Delta\log R+\frac14R^3)=\mathfrak F(1/R)\), so ist \(Rw\) die Differenz der Hauptkrümmungsradien einer Isothermfläche, die zur Invariante \(h=\mathfrak F(R)\) gehört. (Lässt man in dieser Differentialgleichung das Zeichen \(\mathfrak F\) fort, so entsteht die Bestimmungsgleichung der Flächen constanter mittlerer Krümmung.) \(\Delta\) steht für \(\partial^2/\partial u^2+\partial^2/\partial v^2\). Die Bestimmung der Isothermflächen mit vorgeschriebener mittlerer Krümmung \(H\) ist ein wesentlich einfacheres Problem, wenn \(H\) nicht constant ist, als im Falle \(H=\) const. Denn aus \(H=\) const. folgt die Isothermeigenschaft von selbst; man hat also \(H=\) const. zu integriren. Im Falle \(H=\varphi(u,v)\) handeltes sich dagegen um die simultane Integration zweier Differentialgleichungen von zweiter und vierter Ordnung. Verf. beweist im fünften Abschnitt, dass man dabei nur auf gewöhnliche Differentialgleichungen bis zur vierten Ordnung geführt wird. Der allgemeine Fall ist also ganz wesentlich einfacher, als der specielle. Abschnitt VI enthält einige Beispiele.