Biegungen und conjugirte Systeme. (Q1518662)

Eine Fortsetzung der Arbeit, über die in F. d. M. 25, 1306, 1893/94 (siehe JFM 25.1306.01) berichtet ist. Aus jedem Paare \(S_1,S_2\) von Flächen, die durch Biegung in einander übergeführt werden können, lassen sich durch ein schon 1868 von Peterson (F. d. M. 1, 193, JFM 01.0193.01) angegebenes Verfahren neue Paare \(\Sigma_1,\Sigma_2\) dieser Art ableiten. Man hat zu diesem Zwecke das gemeinschaftliche conjugirte System (die Biegungslinien nach Peterson) der beiden Flächen so bestimmen, dann zwei simultane partielle Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Unbekannten zu integriren und endlich gewisse Qudraturen auszuführen. Den Biegungslinien: \(p=\) const., \(q=\) const. von \(S_1,S_2\) entsprechen dabei die Biegungslinien von \(\Sigma_1,\Sigma_2\). Der Verf. zeigt nun, dass jede Fläche \(S\) auf die entsprechende Fläche \(\Sigma\) durch parallele Normalen abgebildet wird, dass, wenn die Biegungslinien geodätische Curven auf \(S\) sind, sie das auch auf der entsprechenden Fläche \(\Sigma\) sind, dass, wenn \(S\) eine Translationsfläche ist, deren erzeugende Curven die Biegungslinien sind, dasselbe von der entsprechenden Fläche \(\Sigma\) gilt. Er untersucht ferner jenes simultane System und kommt dann auf die auch schon von Peterson gestellte Frage nach Flächen, die sich in stetiger Weise so biegen lassen, dass ein conjugirtes System stets conjugirt bleibt. In der II. Abteilung seiner Arbeit geht der Verf. von den \(\infty^2\) Minding'schen Schraubenflächen aus, die auf eine Kugel vom Halbmesser \(1:\sqrt k\) abwickelbar sind. Er betrachtet irgend zwei solcher Schraubenflächen, bestimmt deren Biegungslinien und ermittelt, welche von den \(\infty^2\) Schraubenflächen sich mit Erhaltung eines conjugirten Systems in \(\infty^1\) andere Flächen der Schar biegen lassen. In der III. Abteilung wird das Peterson'sche Verfahren auf die vorher gefundenen Scharen von \(\infty^1\) Schraubenflächen angewandt, und es werden die Biegungen abgeleitet, die sich auf diese Weise ergeben; man findet dabei eine Reihe bekannter Beispiele von Biegungsflächen wieder, aber auch gewisse neue.