Sur deux classes de surfaces qui engendrent par un mouvement hélicoïdal une famille de Lamé. (Q1518668)

Anlässlich einer in den C. R. 118, 1409 erschienenen Note von Petot (F. d. M. 25, 1209, 1894, JFM 25.1209.01), in welcher derselbe auf eine charakteristische Eigenschaft der Flächen aufmerksam macht, die durch eine Schraubenbewegung eine Lamé'sche Flächenfamilie bilden, erinnert Bianchi daran, dass er in seinen zahlreichen früheren Untersuchungen über dreifach-orthogonale Flächensysteme schon solche Flächen betrachtet habe. Dabei wiederholt er die Hauptresultate der in Annali di Mat. (2) 13, 39-52 enthaltenen Arbeit über diese interessanten Flächen (F. d. M. 17, 726-729, 1885, JFM 17.0726.01) und fügt denselben noch einige Betrachtungen bei, durch welche die Flächen der beiden anderen Familien des dreifachen Orthogonalsystems charakterisirt werden. Dabei gelangt er zunächst zu folgendem Satze: ,,Ist eine beliebige Schraubenfläche \(\Sigma\) gegeben, und nimmt man eine übrigens beliebige Curve \(C\), welche die Fläche in einem Punkte orthogonal trifft und eine Orthogonaltrajectorie der bei der Schraubung von \(\Sigma\) aus ihren Punkten entstehenden Schraubenlinien ist, so giebt es eine und nur eine Lamé'sche Schraubenflächenfamilie, welche \(\Sigma\) enthält und \(C\) orthogonal schneidet.'' Anschliessend an diesen Satz erinnert der Verf. an ein Beispiel, das er in Annali di Mat. 19 (F. d. M. 23, 801, 1891, JFM 23.0801.03) gegeben hat, in welchem diedurch Schraubung die Lamé'sche Familie erzeugende Fläche ein System ebener Krümmungslinien hat. Weiter ergiebt sich im Anschlusse hieran, dass Flächen constanter negativer Krümmung existiren, deren endliche Gleichungen sich durch elliptische Functionen ausdrücken, und welche, ohne Schrauben- oder Enneper'sche Flächen zu sein, durch eine entsprechende Schraubenbewegung eine Lamé'sche Flächenfamilie hervorbringen. In einer Ergänzung der vorliegenden Note bemerkt der Autor, dass sich die Lamé'schen Flächen auch durch eine Gruppe conformer Raumtransformationen aus einer Ausgangsfläche erzeugen lassen, und dass man solche Flächenfamilien im speciellen auch mit sogenannten Spiralflächen (Darboux, Théorie des surfaces 1, 108) bilden kann.