Sur les positions d'équilibre instabile. (Q1518863)

Zur Ergänzung der diesbezüglichen Forschungen von Kneser, Liapunow und Hadamard wird zuerst bewiesen, dass, wenn die Kräftefunction in der Nähe einer isolirten Gleichgewichtslage \(x=0\), \(y=0\) die Form hat (also mit Gliedern der zweiten Ordnung beginnt): \[ U=\alpha x^2+2\beta xy+\gamma y^2+\cdots\qquad(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\text{ nicht }=0),\tag{1} \] auch in dem Falle \(\beta^2-\alpha\gamma=0\) das Gleichgewicht instabil ist, wofern nicht \(U\) ein Maximum ist; dass also in allen Fällen die notwendige und hinreichende Bedingung für die Stabilität der Lage die sei, dass \(U\) ein Maximum ist. Mehrere andere Sätze, die dann entwickelt werden, beziehen sich auf den Fall, dass \(U\) mit Gliedern von höherer als der zweiten Ordnung beginnt, dass aber alle reellen Tangenten der Curve \(U=0\) im Ursprunge von einander verschieden sind, wodurch einige Sätze von Kneser für die zuerst angenommene Form (1) von \(U\) verallgemeinert werden.