Sur les petits mouvements périodiques des systèmes à longue période. (Q1518890)

Siehe JFM 28.0644.01. Zur Ergänzung einer Stelle in Poincaré's Méthodes nouvelles de la mécanique céleste (1, 156-159) untersucht der Verfasser die kleinen periodischen Bewegungen eines Systems in der Nachbarschaft einer Lage stabilen Gleichgewichts \(x_1=x_2=\cdots=x_n=0\). Wenn die Kräftefunction \(U(x_1,\dots,x_n)\) für \(x_1=\cdots=x_n=0\) Null und holomorph ist, und wenn ihre Entwickelung mit den Gliedern zweiter Ordnung in den \(x_i\) beginnt, so existiren in der Nachbarschaft von \(x_1=\cdots=x_n=0\) unendlich viele, reelle, periodische, kleine Bewegungen, deren Periode einer Grenze zustrebt, wenn die Amplitude sich der Null nähert. Daher giebt es für einen starren, um einen festen Punkt beweglichen Körper unendlich viele, reelle, periodische, kleine Bewegungen, bei denen der Schwerpunkt seiner tiefsten Lage sehr nahe bleibt. Wenn, wie vorher, die Kräftefunction \(U\) für \(x_1=\cdots=x_n=0\) Null und ein Maximum ist, ihre Entwickelung aber mit Gliedern von höherer Ordnung als der zweiten beginnt, so existiren in der Nähe der Gleichgewichtslage unendlich viele, reelle und verschiedene, kleine periodische Bewegungen; aber die Periode dieser Bewegungen strebt dem Unendlichen zu, wenn ihre Amplitude sich der Null nähert.