Die Anwendung des Hamilton'schen Princips in der Hydrodynamik und Aërodynamik. (Q1518969)

Wenn man die Differentialgleichungen der Hydrodynamik und Aërodynamik in der nach Lagrange benannten, bekanntlich aber von Euler herrührenden Form aus dem Hamilton'schen Princip ableiten will, muss man die Variationen der Coordinaten und Geschwindigkeiten ansehen als Functionen der Zeit und derjenigen Coordinaten, welche das fragliche Flüssigkeitsteilchen in einem festen Zeitpunkte besass. Hier beziehen sich also die sechs Variationen auf dasselbe Flüssigkeitsteilchen, und die Variationen der Geschwindigkeitscomponenten sind einfach die nach der Zeit genommenen Ableitungen der entsprechenden Coordinaten. Will man aber die fraglichen Differentialgleichungen in der nach Euler benannten Form aus dem Hamilton'schen Principe herleiten, so muss man nach Helmholtz die Variationen der Coordinaten und der Geschwindigkeitscomponenten auffassen als Functionen der Coordinaten \(x\), \(y\), \(z\) und der Zeit \(t\). Die sechs Grössen bezeichnen also die Aenderung des Zustandes, welche durch die Variation an einer bestimmten Stelle hervorgerufen wird. Dann bestehen zwischen den Variationen der Geschwindigkeitscomponenten und den Variationen der Coordinaten drei Gleichungen von der Form \[ \delta\alpha + \frac{\partial\alpha}{\partial x}\delta x + \frac{\partial\alpha}{\partial y}\delta y + \frac{\partial\alpha}{\partial z}\delta z = \frac{\partial\delta x}{\partial t} + \left(\frac{\partial\delta x}{\partial x}\alpha + \frac{\partial\delta x}{\partial y}\beta + \frac{\partial\delta x}{\partial z}\gamma\right), \] aus denen unmittelbar die Helmholtz'schen Gleichungen \[ \delta\alpha = \frac{\partial\delta x}{\partial t} + \alpha\left\{\frac{\partial\delta x}{\partial x} + \frac{\partial\delta y}{\partial y} + \frac{\partial\delta z}{\partial z}\right\} + \delta\alpha_0, \] \[ \delta\alpha_0 = \frac{\partial(\beta\delta x - \alpha\delta y)}{\partial y} + \frac{\partial(\gamma\delta x - \alpha\delta z)}{\partial z} - \left(\frac{\partial\alpha}{\partial x} + \frac{\partial\beta}{\partial y} + \frac{\partial\gamma}{\partial z}\right)\delta x \] fliessen. Der Verf. bemängelt die von Helmholtz gegebene Ableitung dieser Formeln und verweist auf seine Ableitung im zweiten Teile des Buches über die ,,elektrischen Kräfte''.