Ueber das Potential einer Doppelbelegung. (Q1519007)

Zum Nachweise des bekannten Satzes, dass die nach der Normale genommenen Ableitungen des Potentials \(W\) einer auf einer Curve oder Fläche \(\sigma\) ausgebreiteten Doppelschicht zu beiden Seiten von \(\sigma\) einander gleich sind, genügt es nicht, die Belegung als stetig anzunehmen; man muss ihr vielmehr noch gewisse andere Eigenschaften (z. B. die Differentiirbarkeit nach gewissen Parametern) zuschreiben. In der vorliegenden Arbeit wird nun gefragt: was kann man betreffs der in Rede stehenden Ableitungen behaupten, wenn man nur die Stetigkeit der Belegung voraussetzt? Der Verf. findet: ,,Wenn an irgend einer Stelle stetiger Krümmung von \(\sigma\) der nach der Normale genommene Differentialquotient von \(W\) auf der einen Seite von \(\sigma\) existirt, so existirt er auch auf der andern Seite, und die beiden Differentialquotienten sind einander gleich.'' Der Gedankengang des Beweises, der nur für eine ebene Curve, also für den Fall des logarithmischen Potentials, durchgeführt wird, ist der folgende. Ist \(A\) die betrachtete Stelle stetiger Krümmung, so nehme man die Tangente in \(A\) zur \(x\)-Axe, die innere Normale zur \(y\)-Axe. Ferner setze man die Dichtigkeit \(f\) der Doppelbelegung in \(A\) gleich 0, was gestattet ist, da der Satz für constante Werte von \(f\) gilt. Dann kann man die Differenz der Ableitungen von \(W\) nach \(y\) für zwei Punkte \(+y\) und \(-y\) in die Form bringen: \[ \int_{-\xi_0}^{+\xi_0}F(\xi,\eta,y)fd\xi; \] dabei sind Glieder, die für \(y=0\) notwendig verschwinden müssen, fortgelassen. Für die Function \(F\) aber lässt sich eine obere Grenze bestimmen, daher auch für das Integral. Durch geeignete Verfügung über \(\xi_0\) wird letztere Grenze beliebig klein. Weiter wird gezeigt, wie man unter Benutzung des eben bewiesenen Satzes eine innerhalb (resp. ausserhalb) der geschlossenen Curve oder Fläche \(\sigma\) harmonische Function construiren kann, deren Differentialquotient nach der inneren (resp. äusseren) Normale beliebig, nur in stetiger Weise vorgeschriebene Werte \(\varphi\) besitzt, und zwar für alle Curven und Flächen. auf welche die Neumann'sche Methode anwendbar ist.