Ueber die Invarianten der linearen Substitutionsgruppen. (Q1519208)

Der Verf. behandelt die Anzahl der Darstellungen der Variabeln einer irreduciblen Substitutionsgruppe durch ganze homogene Functionen der Variabeln einer andern Gruppe, mit der erstere isomorph ist. Das Problem wird mit Hülfe der charakteristischen Gleichungen der Substitutionsgruppen gelöst. Die Gleichungen \(x_i' = \sum\limits_k b_{ik}(u_0,\dots,u_{n-1})x_k\) \((i,k=1,\dots,m)\) sind die einer Substitutionsgruppe \(G\), wenn die \(n\) Systeme \(S_h\): \(x_i' = \sum\limits_k \frac{\partial b_{ik}}{\partial u_h}(u_0,\dots,u_{n-1})x_k\), die von \(u_0,\dots,u_{n-1}\) unabhängig sein sollen, die Gruppe bilden. Die zugehörigen charakteristischen Gleichungen der \(S_h\) seien \(C_h(\omega)\equiv\left|\delta_{ik}-\omega\frac{\partial b_{ik}}{\partial u_h}\right|=0\). Die Grösse \(B(u)=\sum\limits_i b_{ii}(u)\) heisst nach Frobenius der Gruppencharakter. Dann ist das Hauptergebnis: Der Gruppencharakter einer aus sämtlichen independenten rationalen ganzen Functionen \(p^{\text{ten}}\) Grades der Variablen einer linearen Gruppe gebildeten Gruppe ist der Coefficient von \(\omega^p\) in der Entwickelung von \(\sum\limits_h \frac{uh}{c_h(\omega)}\) nach steigenden Potenzen von \(\omega\).