Le résultant de trois formes ternaires quadratiques. (Q1519212)

Siehe JFM 28.0117.02. Es handelt sich um die Aufgabe, die Resultante \(R\) von drei ternären Formen \(f\), \(f_1\), \(f_2\) in übersichtlicher Weise invariantiv darzustellen. Die Grade der \(f\), \(f_1\), \(f_2\) seien resp. \(m\), \(n\), \(p\). Die ,,Curven'' \(f_1=0\), \(f_2=0\) schneiden sich in \(np\) Punkten: \(u_{a_1}=0\), \(u_{a_2}=0\), ..., \(u_{a_{np}}=0\); dann ist \(R\) bekanntlich definirt durch das Product \(\prod\limits_{i=1}^{i=np} f(\alpha_i)\). Der Ausdruck ist so umzuformen, dass man erkennt, dass auch die Coefficienten von \(f_1\) und \(f_2\) rational darin vorkommen. Es lassen sich nun einmal Invarianten etc. \(U\) von \(f\) angeben, andererseits simultane symmetrische Invarianten etc. der \(\alpha\), derart, dass \(R\) als eine Summe von Ueberschiebungen \((U,V)\) erscheint. Die \(U\) lassen sich wiederum linear ausdrücken durch eine Anzahl \(\mu\) linear unabhängiger Invarianten etc. \(P\) von \(f\) vom Grade \(np\) in den Coefficienten, und analog die \(V\) durch die gleiche Anzahl \(\mu\) von Formen \(Q\), wobei die \(Q\) den \(P\) nach dem von Deruyts erweiterten (vgl. F. d. M. 23, 127, 1891, JFM 23.0127.01, und oben S. 108, JFM 28.0108.02) Hermite'schen Reciprocitätsgesetz entsprechen. Dadurch nimmt \(R\) die Gestalt eines mit numerischen Coefficienten \(c\) versehenen Aggregats von Ueberschiebungen \((P,Q)\) an: \(R=\Sigma c(P,Q)\). Die \(Q\) sind Combinanten und Semicombinanten von \(f_1\) und \(f_2\) und zudem rationale Invarianten etc. des Productes \(\pi\) aller \(u_a\). Die \(Q\) zerfallen daher in zwei Klassen. Die erste besteht aus den ganzen Invarianten etc. von \(\pi\). Für die zweite Klasse ergiebt sich nach dem vom Verf. (cf. F. d. M. 25, 1086, 1894, JFM 25.1086.02) behandelten Invarianten-Kriterium \(V=0\), dass \(f\) in lineare Factoren zerfällt. Nach dem Reciprocitätsgesetz entspricht \(V\) eine simultan symmetrische Invariante etc. \(\Delta\) der \(\alpha\). Die Ueberschiebungen über \(\Delta\) bilden die zweite Art \(Q\). Die zweite Arbeit bringt eine explicite Ausführung für den Fall von drei ternären quadratischen Formen.