Concerning the abstract groups of order \(k!\) and \(\frac12 k!\) holohedrically isomorphic with the symmetric and the alternating substitution-groups on \(k\) letters. (Q1519224)

Nach Cayley kann jede abstracte Gruppe durch ein System erzeugender Symbole, verbunden mit einer Anzahl erzeugender Relationen, definirt werden. Verf. beweist in Bezug auf diese Darstellungsart abstracter, mit den symmetrischen und alternirenden Substitutionsgruppen holoedrisch isomorpher Gruppen vier Theoreme, von denen die beiden wichtigsten folgendermassen lauten: 1) Die abstracte Gruppe \(G(k)\;(k\geqq 2)\), welche durch die \(k-1\) Erzeugenden \(B_d\,(d=1,2,\dots,k-1)\) mit den erzeugenden Relationen \[ \begin{aligned} B_d^2 &=1\;(d=1,2,\dots,k-1),\\ (B_dB_{d+1})^3 &=1\;(d=1,2,\dots,k-2),\\ (B_dB_e)^2 &=1 \left(\begin{aligned} d &=1,2,\dots,k-3\\ e &=d+2,d+3,\dots,k-1 \end{aligned}\right)\end{aligned} \] definirt wird, hat die Ordnung \(O(k)=k!\) und ist holoedrisch isomorph mit der symmetrischen Substitutionsgruppe von \(k\) Buchstaben. 2) Die abstracte Gruppe \(G\{k\}\;(k\geqq3)\), welche durch die \(k-2\) Erzeugenden \(E_d\,(d=1,2,\dots,k-2)\) mit den erzeugenden Relationen \[ \begin{aligned} E_1^3=1,\;E_d^2 &=1\;(d=2,3,\dots,k-2),\\ (E_dE_{d+1})^3 &=1\;(d=1,2,\dots,k-3),\\ (E_dE_e)^2 &=1 \left(\begin{aligned} d &=1,2,\dots,k-4\\ e &=d+2,d+3,\dots,k-2 \end{aligned}\right)\end{aligned} \] definirt wird, hat die Ordnung \(O\{k\}=\frac12 k!\) und ist holoedrisch isomorph mit der alternirenden Substitutionsgruppe von \(k\) Buchstaben.